Soạn đề nhanh

Trang chủ › Đề kiểm tra Toán 11 › Toán 11 – Cuối năm – Đề 09

Toán 11 – Cuối năm – Đề 09 (90 phút)

Đề gồm 22 câu, biên soạn theo ma trận và bản đặc tả, đúng cấu trúc đề kiểm tra từ năm 2025. Đáp án và lời giải ở dưới từng câu; bảng đáp án ở cuối đề.

Mở đề này: xuất Word, in, trộn câu▶ Luyện đề online

PHẦN I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Trắc nghiệmNhận biếtLớp 11
Câu 1. Phương trình $\tan x=\tan\alpha$ có nghiệm là
  1. A. $x=\pi-\alpha+k\pi$, $k\in\Z$
  2. B. $x=\alpha+k2\pi$, $k\in\Z$
  3. C. $x=\alpha+k\pi$, $k\in\Z$
  4. D. $x=\pm\alpha+k2\pi$, $k\in\Z$
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: C
Lời giải: Theo công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản: $x=\alpha+k\pi$, $k\in\Z$.

Nguồn: Toán 11 – Cuối năm – Đề 09 (tự biên soạn theo ma trận)

Trắc nghiệmNhận biếtLớp 11
Câu 2. Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1=-1$ và công bội $q=-3$. Số hạng $u_5$ bằng
  1. A. $27$
  2. B. $-13$
  3. C. $-81$
  4. D. $243$
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: C
Lời giải: $u_n=u_1q^{n-1}$. Đáp án: $-81$.

Nguồn: Toán 11 – Cuối năm – Đề 09 (tự biên soạn theo ma trận)

Trắc nghiệmNhận biếtLớp 11
Câu 3. Kết quả khảo sát thời gian tự học mỗi ngày (phút) của 54 học sinh được cho trong bảng sau:

Thời gian tự học mỗi ngày (phút)[30;45)[45;60)[60;75)[75;90)[90;105)
Số học sinh31414158

Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ của mẫu số liệu trên là
  1. A. $[60;75)$
  2. B. $[45;60)$
  3. C. $[75;90)$
  4. D. $[30;45)$
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: B
Lời giải: $\frac{n}{4}=13{,}5$; tần số tích lũy: 3, 17, 31, 46, 54. Nhóm chứa $Q_1$ là $[45;60)$.

Nguồn: Toán 11 – Cuối năm – Đề 09 (tự biên soạn theo ma trận)

Trắc nghiệmNhận biếtLớp 11
Câu 4. Trong không gian, cho hai đường thẳng phân biệt $a$, $b$ cùng song song với đường thẳng $c$. Khi đó
  1. A. $a$ và $b$ chéo nhau
  2. B. $a$ cắt $b$
  3. C. $a$ vuông góc với $b$
  4. D. $a$ song song với $b$
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: D
Lời giải: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

Nguồn: Toán 11 – Cuối năm – Đề 09 (tự biên soạn theo ma trận)

Trắc nghiệmNhận biếtLớp 11
Câu 5. Dãy số $(u_n)$ với $u_n=2$ với mọi $n$. Khi đó $\lim u_n$ bằng
  1. A. $2$
  2. B. $+\infty$
  3. C. $3$
  4. D. $0$
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: A
Lời giải: $\lim c=c$.

Nguồn: Toán 11 – Cuối năm – Đề 09 (tự biên soạn theo ma trận)

Trắc nghiệmNhận biếtLớp 11
Câu 6. Cho $a>0$ và $m$, $n$ là các số thực. Khẳng định nào sau đây đúng?
  1. A. $\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{\frac{m}{n}}$
  2. B. $a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$
  3. C. $a^{m}+a^{n}=a^{m+n}$
  4. D. $a^{m}\cdot a^{n}=a^{mn}$
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: B
Lời giải: Tính chất của lũy thừa.

Nguồn: Toán 11 – Cuối năm – Đề 09 (tự biên soạn theo ma trận)

Trắc nghiệmThông hiểuLớp 11
Câu 7. Nghiệm của phương trình $3^{x+2}=3$ là
  1. A. $x=0$
  2. B. $x=1$
  3. C. $x=-2$
  4. D. $x=-1$
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: D
Lời giải: $3^{x+2}=3$ ⇔ $3^{x+2}=3^{1}$ ⇔ $x+2=1$ ⇔ $x=-1$.

Nguồn: Toán 11 – Cuối năm – Đề 09 (tự biên soạn theo ma trận)

Trắc nghiệmNhận biếtLớp 11
Câu 8. Góc giữa đường thẳng $d$ (không vuông góc với $(P)$) và mặt phẳng $(P)$ là
  1. A. góc giữa $d$ và hình chiếu vuông góc $d'$ của nó trên $(P)$
  2. B. góc giữa $d$ và một đường thẳng bất kì nằm trong $(P)$
  3. C. góc giữa $d$ và đường thẳng vuông góc với $(P)$
  4. D. luôn bằng $90^{\circ}$
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: A
Lời giải: Định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Nguồn: Toán 11 – Cuối năm – Đề 09 (tự biên soạn theo ma trận)

Trắc nghiệmNhận biếtLớp 11
Câu 9. Khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $(P)$ là
  1. A. độ dài $MK$, với $K$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên $(P)$
  2. B. độ dài $MN$ với $N$ là điểm bất kì thuộc $(P)$
  3. C. độ dài nhỏ nhất từ $M$ đến một đường thẳng trong $(P)$ đi qua $M$
  4. D. luôn bằng $0$
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: A
Lời giải: Định nghĩa khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.

Nguồn: Toán 11 – Cuối năm – Đề 09 (tự biên soạn theo ma trận)

Trắc nghiệmNhận biếtLớp 11
Câu 10. Gieo một con xúc xắc cân đối. Gọi $A$ là biến cố "số chấm lớn hơn 3", $B$ là biến cố "số chấm không nhỏ hơn 5". Biến cố $A\cap B$ là
  1. A. $\{4\}$
  2. B. $\{4;5;6\}$
  3. C. $\varnothing$
  4. D. $\{5;6\}$
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: D
Lời giải: $A=\{4;5;6\}$, $B=\{5;6\}$ nên $A\cap B=\{5;6\}$.

Nguồn: Toán 11 – Cuối năm – Đề 09 (tự biên soạn theo ma trận)

Trắc nghiệmNhận biếtLớp 11
Câu 11. Với $x\ne k\pi$, ta có $(\cot x)'$ bằng
  1. A. $\tan x$
  2. B. $\frac{1}{\sin^{2}x}$
  3. C. $-\frac{1}{\sin^{2}x}$
  4. D. $-\frac{1}{\cos^{2}x}$
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: C
Lời giải: Công thức: $(\cot x)'=-\frac{1}{\sin^{2}x}$.

Nguồn: Toán 11 – Cuối năm – Đề 09 (tự biên soạn theo ma trận)

Trắc nghiệmThông hiểuLớp 11
Câu 12. Đạo hàm cấp hai của hàm số $y=3x^{3}+2x^{2}+2x$ là
  1. A. $y''=9 x + 2$
  2. B. $y''=2 (9 x + 2)$
  3. C. $y''=2 (9 x + 2) + 4$
  4. D. $y''=9 x^{2} + 4 x + 2$
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: B
Lời giải: $y'=9 x^{2} + 4 x + 2$, $y''=2 (9 x + 2)$.

Nguồn: Toán 11 – Cuối năm – Đề 09 (tự biên soạn theo ma trận)

PHẦN II. Trắc nghiệm đúng sai

Đúng/SaiThông hiểuLớp 11
Câu 13. Cho hàm số $y=\log_{2}x$.
  1. a) Tập xác định của hàm số là $(0;+\infty)$.
  2. b) Hàm số đồng biến trên $(0;+\infty)$.
  3. c) Đồ thị hàm số đi qua điểm $(0;1)$.
  4. d) Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{2}\left(x+1\right)<3$ là $(-1;7)$.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: a) Đúng · b) Đúng · c) Sai · d) Đúng
Lời giải: a) Đúng. Điều kiện $x>0$.
b) Đúng. Cơ số $2$ lớn hơn 1.
c) Sai. Hàm số không xác định tại $x=0$.
d) Đúng. Điều kiện: $x>-1$. BPT ⇔ $x+1<8$ ⇔ $x<7$ (cơ số $2>1$). Tập nghiệm: $S=(-1;7)$.

Nguồn: Toán 11 – Cuối năm – Đề 09 (tự biên soạn theo ma trận)

Đúng/SaiThông hiểuLớp 11
Câu 14. Cho hàm số $f(x)=2x^{3}+3x^{2}+x+2$.
  1. a) $f'(x)=6 x^{2} + 6 x + 3$.
  2. b) $f'(-1)=1$.
  3. c) $f''(x)=6 (2 x + 1)$.
  4. d) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ $x=-1$ có phương trình $y=x + 3$.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: a) Sai · b) Đúng · c) Đúng · d) Đúng
Lời giải: a) Sai. $f'(x)=6 x^{2} + 6 x + 1$.
b) Đúng. $f'(-1)=1$.
c) Đúng. $f''(x)=(f'(x))'=6 (2 x + 1)$.
d) Đúng. $f(-1)=2$, $f'(-1)=1$: $y=1(x-(-1))+(2)=x + 3$.

Nguồn: Toán 11 – Cuối năm – Đề 09 (tự biên soạn theo ma trận)

PHẦN III. Trả lời ngắn

Trả lời ngắnVận dụngLớp 11
Câu 15. Nhiệt độ ngoài trời ở một thành phố được mô phỏng bởi công thức $h(t)=28+6\sin\frac{\pi(t-7)}{12}$ ($^{\circ}$C), với $t$ là thời gian tính bằng giờ. Tính từ thời điểm $t=7$, sau ít nhất bao nhiêu giờ thì nhiệt độ đạt $34$ $^{\circ}$C?

✍️ Câu trả lời ngắn: học sinh điền đáp số (tối đa 4 ký tự, dùng dấu phẩy thập phân).

Xem đáp án và lời giải
Đáp án: 6
Lời giải: $h(t)=34$ ⇔ $\sin\frac{\pi(t-7)}{12}=1$. Nghiệm $t>7$ nhỏ nhất là $t=13$, tức là sau $6$ giờ.

Nguồn: Toán 11 – Cuối năm – Đề 09 (tự biên soạn theo ma trận)

Trả lời ngắnThông hiểuLớp 11
Câu 16. Tính $\lim\limits_{x\to-1}\frac{x^{2} - x - 2}{x+1}$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm nếu cần).

✍️ Câu trả lời ngắn: học sinh điền đáp số (tối đa 4 ký tự, dùng dấu phẩy thập phân).

Xem đáp án và lời giải
Đáp án: -3
Lời giải: $\frac{x^{2} - x - 2}{x+1}=\frac{(x - 2) (x + 1)}{x+1}=x-2$ với $x\ne-1$, nên giới hạn bằng $-1-(2)=-3$.

Nguồn: Toán 11 – Cuối năm – Đề 09 (tự biên soạn theo ma trận)

Trả lời ngắnVận dụngLớp 11
Câu 17. Hai máy hoạt động độc lập với nhau, xác suất máy thứ nhất và máy thứ hai hoạt động tốt trong một ngày lần lượt là $0{,}8$ và $0{,}7$. Tính xác suất để cả hai máy đều hoạt động tốt trong ngày đó.

✍️ Câu trả lời ngắn: học sinh điền đáp số (tối đa 4 ký tự, dùng dấu phẩy thập phân).

Xem đáp án và lời giải
Đáp án: 0,56
Lời giải: $P(AB)=P(A)P(B)=0{,}8\cdot0{,}7=0{,}56$.

Nguồn: Toán 11 – Cuối năm – Đề 09 (tự biên soạn theo ma trận)

Trả lời ngắnVận dụngLớp 11
Câu 18. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $3$ cm, $SA\perp(ABCD)$ và $SA=5$ cm. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $BD$ (đơn vị: cm, làm tròn đến hàng phần trăm).

✍️ Câu trả lời ngắn: học sinh điền đáp số (tối đa 4 ký tự, dùng dấu phẩy thập phân).

Xem đáp án và lời giải
Đáp án: 2,12
Lời giải: $AO\perp SA$ và $AO\perp BD$ nên $AO$ là đoạn vuông góc chung; $d=AO=\frac{3\sqrt{2}}{2}\approx2{,}12$.

Nguồn: Toán 11 – Cuối năm – Đề 09 (tự biên soạn theo ma trận)

PHẦN IV. Tự luận

Tự luậnThông hiểuLớp 11
Câu 19. Giải các phương trình, bất phương trình sau:

a) $2\cos\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)-1=0$
b) $2^{3x-3}=1$

📝 Câu tự luận (1 điểm): học sinh trình bày lời giải; chấm theo thang điểm trong lời giải.

Xem đáp án và lời giải
Đáp án: Tự luận (1 điểm) – xem lời giải và thang điểm
Lời giải: a) $2\cos\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)-1=0$ ⇔ $\cos\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}=\cos\frac{\pi}{3}$ (0,25 điểm)
⇔ $2x-\frac{\pi}{4}=\pm\frac{\pi}{3}+k2\pi$ ⇔ $x=\frac{7 \pi}{24}+k\pi$ hoặc $x=- \frac{\pi}{24}+k\pi$, $k\in\Z$. (0,25 điểm)
b) $2^{3x-3}=1$ ⇔ $2^{3x-3}=2^{0}$ (0,25 điểm)
⇔ $3x-3=0$ ⇔ $x=1$. (0,25 điểm)

Nguồn: Toán 11 – Cuối năm – Đề 09 (tự biên soạn theo ma trận)

Tự luậnThông hiểuLớp 11
Câu 20. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Chứng minh $OM\parallel(SBC)$, với $M$ là trung điểm của $SA$.

📝 Câu tự luận (0,5 điểm): học sinh trình bày lời giải; chấm theo thang điểm trong lời giải.

Xem đáp án và lời giải
Đáp án: Tự luận (0,5 điểm) – xem lời giải và thang điểm
Lời giải: $O$ là trung điểm $AC$, $M$ là trung điểm $SA$ nên $OM$ là đường trung bình của tam giác $SAC$, suy ra $OM\parallel SC$. (0,25 điểm)
Do $SC\subset(SBC)$ và $OM\not\subset(SBC)$ nên $OM\parallel(SBC)$. (0,25 điểm)

Nguồn: Toán 11 – Cuối năm – Đề 09 (tự biên soạn theo ma trận)

Tự luậnVận dụngLớp 11
Câu 21. Cho hình chóp $S.EFGH$ có đáy $EFGH$ là hình vuông cạnh $a$, $SE\perp(EFGH)$, $SE=a\sqrt{3}$.

a) Tính góc giữa đường thẳng $SG$ và mặt phẳng $(EFGH)$ (làm tròn đến hàng phần mười của độ).
b) Tính khoảng cách từ $E$ đến mặt phẳng $(SFG)$ theo $a$.

📝 Câu tự luận (1 điểm): học sinh trình bày lời giải; chấm theo thang điểm trong lời giải.

Xem đáp án và lời giải
Đáp án: Tự luận (1 điểm) – xem lời giải và thang điểm
Lời giải: a) $SE\perp(EFGH)$ nên $EG$ là hình chiếu vuông góc của $SG$ trên $(EFGH)$; góc cần tìm là $\widehat{SGE}$. (0,25 điểm)
$EG=a\sqrt{2}$, $\tan\widehat{SGE}=\frac{SE}{EG}=\frac{\sqrt{6}}{2}$ ⇒ $\widehat{SGE}\approx50{,}8^{\circ}$. (0,25 điểm)
b) Kẻ $EK\perp SF$ ($K\in SF$). Vì $FG\perp(SEF)$ nên $FG\perp EK$, suy ra $EK\perp(SFG)$. (0,25 điểm)
$\frac{1}{EK^{2}}=\frac{1}{SE^{2}}+\frac{1}{EF^{2}}$ ⇒ $EK=\frac{\sqrt{3} a}{2}$. (0,25 điểm)

Nguồn: Toán 11 – Cuối năm – Đề 09 (tự biên soạn theo ma trận)

Tự luậnVận dụngLớp 11
Câu 22. Một kĩ sư có mức lương năm thứ nhất là $120$ triệu đồng; mỗi năm sau tăng thêm $9$ triệu đồng so với năm liền trước. Tính tổng số tiền lương kĩ sư nhận được sau $12$ năm làm việc.

📝 Câu tự luận (0,5 điểm): học sinh trình bày lời giải; chấm theo thang điểm trong lời giải.

Xem đáp án và lời giải
Đáp án: Tự luận (0,5 điểm) – xem lời giải và thang điểm
Lời giải: Lương các năm lập thành cấp số cộng $u_1=120$, $d=9$; $u_{12}=219$. (0,25 điểm)
$S_{12}=\frac{12(120+219)}{2}=2034$ (triệu đồng). (0,25 điểm)

Nguồn: Toán 11 – Cuối năm – Đề 09 (tự biên soạn theo ma trận)

Bảng đáp án

CâuĐáp án
1C
2C
3B
4D
5A
6B
7D
8A
9A
10D
11C
12B
13a) Đúng · b) Đúng · c) Sai · d) Đúng
14a) Sai · b) Đúng · c) Đúng · d) Đúng
156
16-3
170,56
182,12

Đề cùng loại

Toán 11 – Cuối năm – Đề 01Toán 11 – Cuối năm – Đề 02Toán 11 – Cuối năm – Đề 03Toán 11 – Cuối năm – Đề 04Toán 11 – Cuối năm – Đề 05Toán 11 – Cuối năm – Đề 06Toán 11 – Cuối năm – Đề 07Toán 11 – Cuối năm – Đề 08Toán 11 – Cuối năm – Đề 10