Soạn đề nhanh

Trang chủ › Đề kiểm tra Toán 11 › Toán 11 – Cuối năm – Đề 03

Toán 11 – Cuối năm – Đề 03 (90 phút)

Đề gồm 22 câu, biên soạn theo ma trận và bản đặc tả, đúng cấu trúc đề kiểm tra từ năm 2025. Đáp án và lời giải ở dưới từng câu; bảng đáp án ở cuối đề.

Mở đề này: xuất Word, in, trộn câu▶ Luyện đề online

PHẦN I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Trắc nghiệmNhận biếtLớp 11
Câu 1. Với mọi số thực $a,b$ làm các biểu thức có nghĩa, ta có $\cos(a+b)$ bằng
  1. A. $\sin a\cos b+\cos a\sin b$
  2. B. $\sin a\sin b-\cos a\cos b$
  3. C. $\cos a\cos b+\sin a\sin b$
  4. D. $\cos a\cos b-\sin a\sin b$
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: D
Lời giải: Theo công thức cộng / công thức nhân đôi: $\cos a\cos b-\sin a\sin b$.

Nguồn: Toán 11 – Cuối năm – Đề 03 (tự biên soạn theo ma trận)

Trắc nghiệmNhận biếtLớp 11
Câu 2. Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng?
  1. A. $8;\,9;\,11;\,14$
  2. B. $8;\,13;\,18;\,23$
  3. C. $1;\,2;\,4;\,8$
  4. D. $8;\,13;\,19;\,24$
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: B
Lời giải: Cấp số cộng có hiệu hai số hạng liên tiếp không đổi. Đáp án: $8;\,13;\,18;\,23$.

Nguồn: Toán 11 – Cuối năm – Đề 03 (tự biên soạn theo ma trận)

Trắc nghiệmNhận biếtLớp 11
Câu 3. Kết quả khảo sát thời gian sử dụng điện thoại mỗi ngày (phút) của 60 học sinh được cho trong bảng sau:

Thời gian sử dụng điện thoại mỗi ngày (phút)[0;20)[20;40)[40;60)[60;80)[80;100)
Số học sinh128171310

Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ của mẫu số liệu trên là
  1. A. $[20;40)$
  2. B. $[60;80)$
  3. C. $[0;20)$
  4. D. $[80;100)$
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: A
Lời giải: $\frac{n}{4}=15$; tần số tích lũy: 12, 20, 37, 50, 60. Nhóm chứa $Q_1$ là $[20;40)$.

Nguồn: Toán 11 – Cuối năm – Đề 03 (tự biên soạn theo ma trận)

Trắc nghiệmNhận biếtLớp 11
Câu 4. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Đường thẳng $AB$ song song với mặt phẳng nào sau đây?
  1. A. $(SBD)$
  2. B. $(SAD)$
  3. C. $(SAC)$
  4. D. $(SCD)$
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: D
Lời giải: $AB\parallel CD\subset(SCD)$ và $AB\not\subset(SCD)$.

Nguồn: Toán 11 – Cuối năm – Đề 03 (tự biên soạn theo ma trận)

Trắc nghiệmNhận biếtLớp 11
Câu 5. $\lim\limits_{x\to-\infty}\left(-x^{3}\right)$ bằng
  1. A. $+\infty$
  2. B. $1$
  3. C. $-\infty$
  4. D. $0$
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: A
Lời giải: $x^{3}\to-\infty$ khi $x\to-\infty$ ($k$ lẻ).

Nguồn: Toán 11 – Cuối năm – Đề 03 (tự biên soạn theo ma trận)

Trắc nghiệmNhận biếtLớp 11
Câu 6. Cho $a>0$, $a\ne1$ và $b,c>0$. Khẳng định nào sau đây đúng?
  1. A. $\log_a\frac{b}{c}=\frac{\log_a b}{\log_a c}$
  2. B. $\log_a\frac{b}{c}=\log_a b-\log_a c$
  3. C. $\log_a(b-c)=\log_a b-\log_a c$
  4. D. $\log_a\frac{b}{c}=\log_a b+\log_a c$
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: B
Lời giải: Lôgarit của một thương.

Nguồn: Toán 11 – Cuối năm – Đề 03 (tự biên soạn theo ma trận)

Trắc nghiệmThông hiểuLớp 11
Câu 7. Nghiệm của phương trình $5^{2x-2}=1$ là
  1. A. $x=1$
  2. B. $x=2$
  3. C. $x=-1$
  4. D. $x=0$
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: A
Lời giải: $5^{2x-2}=1$ ⇔ $5^{2x-2}=5^{0}$ ⇔ $2x-2=0$ ⇔ $x=1$.

Nguồn: Toán 11 – Cuối năm – Đề 03 (tự biên soạn theo ma trận)

Trắc nghiệmNhận biếtLớp 11
Câu 8. Cho đường thẳng $a\perp(P)$ và đường thẳng $b\subset(P)$. Khi đó
  1. A. $a$ và $b$ chéo nhau nhưng không vuông góc
  2. B. $a\parallel b$
  3. C. $a\perp b$
  4. D. $a$ trùng $b$
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: C
Lời giải: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

Nguồn: Toán 11 – Cuối năm – Đề 03 (tự biên soạn theo ma trận)

Trắc nghiệmNhận biếtLớp 11
Câu 9. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là
  1. A. luôn bằng $0$
  2. B. khoảng cách giữa hai điểm bất kì trên hai đường thẳng
  3. C. độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó
  4. D. độ dài đoạn thẳng nối hai điểm đầu mút
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: C
Lời giải: Định nghĩa khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

Nguồn: Toán 11 – Cuối năm – Đề 03 (tự biên soạn theo ma trận)

Trắc nghiệmNhận biếtLớp 11
Câu 10. Nếu $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập thì cặp biến cố nào sau đây cũng độc lập?
  1. A. $A\cup B$ và $A$
  2. B. $B$ và $\overline{B}$
  3. C. $A$ và $\overline{A}$
  4. D. $\overline{A}$ và $B$
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: D
Lời giải: Nếu $A$, $B$ độc lập thì $\overline{A}$ và $B$ cũng độc lập.

Nguồn: Toán 11 – Cuối năm – Đề 03 (tự biên soạn theo ma trận)

Trắc nghiệmNhận biếtLớp 11
Câu 11. Với $0<a\ne1$, ta có $(a^{x})'$ bằng
  1. A. $\frac{a^{x}}{\ln a}$
  2. B. $a^{x}\ln a$
  3. C. $xa^{x-1}$
  4. D. $a^{x}$
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: B
Lời giải: Công thức: $(a^{x})'=a^{x}\ln a$.

Nguồn: Toán 11 – Cuối năm – Đề 03 (tự biên soạn theo ma trận)

Trắc nghiệmThông hiểuLớp 11
Câu 12. Đạo hàm của hàm số $y=- \sin{(2 x + 1 )}$ là
  1. A. $y'=1 - 2 \cos{(2 x + 1 )}$
  2. B. $y'=- 4 \cos{(2 x + 1 )}$
  3. C. $y'=- 2 \cos{(2 x + 1 )}$
  4. D. $y'=2 \cos{(2 x + 1 )}$
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: C
Lời giải: Áp dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp: $y'=- 2 \cos{(2 x + 1 )}$.

Nguồn: Toán 11 – Cuối năm – Đề 03 (tự biên soạn theo ma trận)

PHẦN II. Trắc nghiệm đúng sai

Đúng/SaiThông hiểuLớp 11
Câu 13. Cho hàm số $y=\log_{2}x$.
  1. a) Tập xác định của hàm số là $\R$.
  2. b) Hàm số đồng biến trên $(0;+\infty)$.
  3. c) Đồ thị hàm số đi qua điểm $(1;0)$.
  4. d) Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{3}\left(x+2\right)<2$ là $(-\infty;7)$.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: a) Sai · b) Đúng · c) Đúng · d) Sai
Lời giải: a) Sai. Điều kiện $x>0$.
b) Đúng. Cơ số $2$ lớn hơn 1.
c) Đúng. $\log_{2}1=0$.
d) Sai. Điều kiện: $x>-2$. BPT ⇔ $x+2<9$ ⇔ $x<7$ (cơ số $3>1$). Tập nghiệm: $S=(-2;7)$.

Nguồn: Toán 11 – Cuối năm – Đề 03 (tự biên soạn theo ma trận)

Đúng/SaiThông hiểuLớp 11
Câu 14. Cho hàm số $f(x)=x^{3}-4x^{2}-x+3$.
  1. a) $f'(x)=3 x^{2} - 8 x - 1$.
  2. b) $f'(1)=-4$.
  3. c) $f''(x)=2 (3 x - 4)$.
  4. d) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ $x=1$ có phương trình $y=6 - 6 x$.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: a) Sai · b) Sai · c) Đúng · d) Sai
Lời giải: a) Sai. $f'(x)=3 x^{2} - 8 x - 1$.
b) Sai. $f'(1)=-6$.
c) Đúng. $f''(x)=(f'(x))'=2 (3 x - 4)$.
d) Sai. $f(1)=-1$, $f'(1)=-6$: $y=5 - 6 x$.

Nguồn: Toán 11 – Cuối năm – Đề 03 (tự biên soạn theo ma trận)

PHẦN III. Trả lời ngắn

Trả lời ngắnVận dụngLớp 11
Câu 15. Độ sâu mực nước tại một cảng biển được cho bởi $h(t)=12+3\cos\frac{\pi t}{6}$ (m), với $t$ (giờ) là thời gian tính từ lúc 0 giờ. Sau 0 giờ, thời điểm đầu tiên mực nước có độ sâu $13{,}5$ m là lúc mấy giờ?

✍️ Câu trả lời ngắn: học sinh điền đáp số (tối đa 4 ký tự, dùng dấu phẩy thập phân).

Xem đáp án và lời giải
Đáp án: 2
Lời giải: $h(t)=13{,}5$ ⇔ $\cos\frac{\pi t}{6}=\frac{1}{2}$; nghiệm dương nhỏ nhất là $t=2$.

Nguồn: Toán 11 – Cuối năm – Đề 03 (tự biên soạn theo ma trận)

Trả lời ngắnThông hiểuLớp 11
Câu 16. Tính $\lim\limits_{x\to4}\frac{\sqrt{x+5}-3}{x-4}$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm nếu cần).

✍️ Câu trả lời ngắn: học sinh điền đáp số (tối đa 4 ký tự, dùng dấu phẩy thập phân).

Xem đáp án và lời giải
Đáp án: 0,17
Lời giải: Nhân liên hợp: $\frac{\sqrt{x+5}-3}{x-4}=\frac{1}{\sqrt{x+5}+3}$, nên giới hạn bằng $\frac{1}{6}$.

Nguồn: Toán 11 – Cuối năm – Đề 03 (tự biên soạn theo ma trận)

Trả lời ngắnVận dụngLớp 11
Câu 17. Một hộp có $4$ viên bi đỏ và $7$ viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên lần lượt $2$ viên bi (không hoàn lại). Tính xác suất để hai viên bi lấy ra cùng màu (làm tròn đến hàng phần trăm).

✍️ Câu trả lời ngắn: học sinh điền đáp số (tối đa 4 ký tự, dùng dấu phẩy thập phân).

Xem đáp án và lời giải
Đáp án: 0,49
Lời giải: Dùng sơ đồ hình cây: $P=\frac{4}{11}\cdot\frac{3}{10}+\frac{7}{11}\cdot\frac{6}{10}=\frac{27}{55}\approx0{,}49$.

Nguồn: Toán 11 – Cuối năm – Đề 03 (tự biên soạn theo ma trận)

Trả lời ngắnVận dụngLớp 11
Câu 18. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $3$ cm, $SA\perp(ABCD)$ và $SA=3$ cm. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $BD$ (đơn vị: cm, làm tròn đến hàng phần trăm).

✍️ Câu trả lời ngắn: học sinh điền đáp số (tối đa 4 ký tự, dùng dấu phẩy thập phân).

Xem đáp án và lời giải
Đáp án: 2,12
Lời giải: $AO\perp SA$ và $AO\perp BD$ nên $AO$ là đoạn vuông góc chung; $d=AO=\frac{3\sqrt{2}}{2}\approx2{,}12$.

Nguồn: Toán 11 – Cuối năm – Đề 03 (tự biên soạn theo ma trận)

PHẦN IV. Tự luận

Tự luậnThông hiểuLớp 11
Câu 19. Giải các phương trình, bất phương trình sau:

a) $\tan\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)-1=0$
b) $3^{x-1}=\frac{1}{3}$

📝 Câu tự luận (1 điểm): học sinh trình bày lời giải; chấm theo thang điểm trong lời giải.

Xem đáp án và lời giải
Đáp án: Tự luận (1 điểm) – xem lời giải và thang điểm
Lời giải: a) $\tan\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)-1=0$ ⇔ $\tan\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=1=\tan\frac{\pi}{4}$ (0,25 điểm)
⇔ $2x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{4}+k\pi$ ⇔ $x=- \frac{\pi}{24}+k\frac{\pi}{2}$, $k\in\Z$. (0,25 điểm)
b) $3^{x-1}=\frac{1}{3}$ ⇔ $3^{x-1}=3^{-1}$ (0,25 điểm)
⇔ $x-1=-1$ ⇔ $x=0$. (0,25 điểm)

Nguồn: Toán 11 – Cuối năm – Đề 03 (tự biên soạn theo ma trận)

Tự luậnThông hiểuLớp 11
Câu 20. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Chứng minh $OM\parallel(SBC)$, với $M$ là trung điểm của $SA$.

📝 Câu tự luận (0,5 điểm): học sinh trình bày lời giải; chấm theo thang điểm trong lời giải.

Xem đáp án và lời giải
Đáp án: Tự luận (0,5 điểm) – xem lời giải và thang điểm
Lời giải: $O$ là trung điểm $AC$, $M$ là trung điểm $SA$ nên $OM$ là đường trung bình của tam giác $SAC$, suy ra $OM\parallel SC$. (0,25 điểm)
Do $SC\subset(SBC)$ và $OM\not\subset(SBC)$ nên $OM\parallel(SBC)$. (0,25 điểm)

Nguồn: Toán 11 – Cuối năm – Đề 03 (tự biên soạn theo ma trận)

Tự luậnVận dụngLớp 11
Câu 21. Cho hình chóp $S.EFGH$ có đáy $EFGH$ là hình vuông cạnh $a$, $SE\perp(EFGH)$, $SE=a\sqrt{3}$.

a) Tính góc giữa đường thẳng $SG$ và mặt phẳng $(EFGH)$ (làm tròn đến hàng phần mười của độ).
b) Tính khoảng cách từ $E$ đến mặt phẳng $(SFG)$ theo $a$.

📝 Câu tự luận (1 điểm): học sinh trình bày lời giải; chấm theo thang điểm trong lời giải.

Xem đáp án và lời giải
Đáp án: Tự luận (1 điểm) – xem lời giải và thang điểm
Lời giải: a) $SE\perp(EFGH)$ nên $EG$ là hình chiếu vuông góc của $SG$ trên $(EFGH)$; góc cần tìm là $\widehat{SGE}$. (0,25 điểm)
$EG=a\sqrt{2}$, $\tan\widehat{SGE}=\frac{SE}{EG}=\frac{\sqrt{6}}{2}$ ⇒ $\widehat{SGE}\approx50{,}8^{\circ}$. (0,25 điểm)
b) Kẻ $EK\perp SF$ ($K\in SF$). Vì $FG\perp(SEF)$ nên $FG\perp EK$, suy ra $EK\perp(SFG)$. (0,25 điểm)
$\frac{1}{EK^{2}}=\frac{1}{SE^{2}}+\frac{1}{EF^{2}}$ ⇒ $EK=\frac{\sqrt{3} a}{2}$. (0,25 điểm)

Nguồn: Toán 11 – Cuối năm – Đề 03 (tự biên soạn theo ma trận)

Tự luậnVận dụngLớp 11
Câu 22. Một kĩ sư có mức lương năm thứ nhất là $96$ triệu đồng; mỗi năm sau tăng thêm $6$ triệu đồng so với năm liền trước. Tính tổng số tiền lương kĩ sư nhận được sau $12$ năm làm việc.

📝 Câu tự luận (0,5 điểm): học sinh trình bày lời giải; chấm theo thang điểm trong lời giải.

Xem đáp án và lời giải
Đáp án: Tự luận (0,5 điểm) – xem lời giải và thang điểm
Lời giải: Lương các năm lập thành cấp số cộng $u_1=96$, $d=6$; $u_{12}=162$. (0,25 điểm)
$S_{12}=\frac{12(96+162)}{2}=1548$ (triệu đồng). (0,25 điểm)

Nguồn: Toán 11 – Cuối năm – Đề 03 (tự biên soạn theo ma trận)

Bảng đáp án

CâuĐáp án
1D
2B
3A
4D
5A
6B
7A
8C
9C
10D
11B
12C
13a) Sai · b) Đúng · c) Đúng · d) Sai
14a) Sai · b) Sai · c) Đúng · d) Sai
152
160,17
170,49
182,12

Đề cùng loại

Toán 11 – Cuối năm – Đề 01Toán 11 – Cuối năm – Đề 02Toán 11 – Cuối năm – Đề 04Toán 11 – Cuối năm – Đề 05Toán 11 – Cuối năm – Đề 06Toán 11 – Cuối năm – Đề 07Toán 11 – Cuối năm – Đề 08Toán 11 – Cuối năm – Đề 09Toán 11 – Cuối năm – Đề 10