Trang chủ › Đề kiểm tra Toán 11 › Toán 11 – Cuối chương I – Đề 09

Toán 11 – Cuối chương I – Đề 09 (45 phút)

Đề gồm 19 câu, biên soạn theo ma trận và bản đặc tả, đúng cấu trúc đề kiểm tra từ năm 2025. Đáp án và lời giải ở dưới từng câu; bảng đáp án ở cuối đề.

Mở đề này: xuất Word, in, trộn câu ▶ Luyện đề online

PHẦN I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Trắc nghiệmNhận biếtLớp 11

Câu 1. Góc có số đo $60^{\circ}$ đổi sang radian là

A. $\frac{\pi}{3}$
B. $\frac{\pi}{6}$
C. $\frac{5 \pi}{6}$
D. $\frac{2 \pi}{3}$

Xem đáp án và lời giải

Đáp án: A

Lời giải: Áp dụng $\alpha\ (\text{rad})=\frac{\pi}{180}\cdot a^{\circ}$ và độ dài cung $l=R\alpha$. Đáp án: $\frac{\pi}{3}$.

Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 09 (tự biên soạn theo ma trận)

Trắc nghiệmNhận biếtLớp 11

Câu 2. Giá trị của $\tan\frac{\pi}{6}$ bằng

A. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
B. $- \frac{\sqrt{3}}{3}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Xem đáp án và lời giải

Đáp án: A

Lời giải: Dựa vào định nghĩa giá trị lượng giác trên đường tròn lượng giác và dấu của các giá trị lượng giác. Đáp án: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 09 (tự biên soạn theo ma trận)

Trắc nghiệmNhận biếtLớp 11

Câu 3. Với mọi góc $\alpha$ làm biểu thức có nghĩa, ta có $\tan\left(\pi-\alpha\right)$ bằng

A. $\cot\alpha$
B. $-\tan\alpha$
C. $-\cot\alpha$
D. $\tan\alpha$

Xem đáp án và lời giải

Đáp án: B

Lời giải: Áp dụng công thức giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt (đối nhau, bù nhau, phụ nhau, hơn kém π). Đáp án: $-\tan\alpha$.

Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 09 (tự biên soạn theo ma trận)

Trắc nghiệmNhận biếtLớp 11

Câu 4. Với mọi số thực $a,b$ làm các biểu thức có nghĩa, công thức nào sau đây đúng?

A. $\sin(a-b)=\cos a\sin b-\sin a\cos b$
B. $\sin(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$
C. $\sin(a-b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$
D. $\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$

Xem đáp án và lời giải

Đáp án: D

Lời giải: Theo công thức cộng / công thức nhân đôi: $\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$.

Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 09 (tự biên soạn theo ma trận)

Trắc nghiệmNhận biếtLớp 11

Câu 5. Với mọi số thực $a,b$ làm các biểu thức có nghĩa, ta có $\sin a\cos b$ bằng

A. $\frac{1}{2}[\cos(a+b)+\cos(a-b)]$
B. $\frac{1}{2}[\cos(a-b)-\cos(a+b)]$
C. $\frac{1}{2}[\sin(a+b)+\sin(a-b)]$
D. $\frac{1}{2}[\sin(a+b)-\sin(a-b)]$

Xem đáp án và lời giải

Đáp án: C

Lời giải: Theo công thức biến đổi tích thành tổng / tổng thành tích: $\frac{1}{2}[\sin(a+b)+\sin(a-b)]$.

Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 09 (tự biên soạn theo ma trận)

Trắc nghiệmNhận biếtLớp 11

Câu 6. Tập xác định của hàm số $y=\cot x$ là

A. $\R\setminus\{k\pi,k\in\Z\}$
B. $\R\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\Z\right\}$
C. $\R$
D. $\R\setminus\{k2\pi,k\in\Z\}$

Xem đáp án và lời giải

Đáp án: A

Lời giải: Dựa vào tính chất của các hàm số lượng giác (tập xác định, tập giá trị, tính chẵn lẻ, chu kì, tính đơn điệu). Đáp án: $\R\setminus\{k\pi,k\in\Z\}$.

Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 09 (tự biên soạn theo ma trận)

Trắc nghiệmNhận biếtLớp 11

Câu 7. Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ?

A. $y=\cos2x$
B. $y=\sin x+1$
C. $y=\cos x$
D. $y=\sin x$

Xem đáp án và lời giải

Đáp án: D

Lời giải: Dựa vào tính chất của các hàm số lượng giác (tập xác định, tập giá trị, tính chẵn lẻ, chu kì, tính đơn điệu). Đáp án: $y=\sin x$.

Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 09 (tự biên soạn theo ma trận)

Trắc nghiệmNhận biếtLớp 11

Câu 8. Nghiệm của phương trình $\sin x=1$ là

A. $x=-\frac{\pi}{2}+k2\pi$, $k\in\Z$
B. $x=\frac{\pi}{2}+k2\pi$, $k\in\Z$
C. $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$, $k\in\Z$
D. $x=k\pi$, $k\in\Z$

Xem đáp án và lời giải

Đáp án: B

Lời giải: Theo công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản: $x=\frac{\pi}{2}+k2\pi$, $k\in\Z$.

Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 09 (tự biên soạn theo ma trận)

Trắc nghiệmNhận biếtLớp 11

Câu 9. Phương trình $\cot x=\cot\alpha$ có nghiệm là

A. $x=\pm\alpha+k2\pi$, $k\in\Z$
B. $x=\pi-\alpha+k\pi$, $k\in\Z$
C. $x=\alpha+k\pi$, $k\in\Z$
D. $x=\alpha+k2\pi$, $k\in\Z$

Xem đáp án và lời giải

Đáp án: C

Lời giải: Theo công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản: $x=\alpha+k\pi$, $k\in\Z$.

Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 09 (tự biên soạn theo ma trận)

Trắc nghiệmNhận biếtLớp 11

Câu 10. Nghiệm của phương trình $\sin x=-1$ là

A. $x=\frac{\pi}{2}+k2\pi$, $k\in\Z$
B. $x=k2\pi$, $k\in\Z$
C. $x=-\frac{\pi}{2}+k\pi$, $k\in\Z$
D. $x=-\frac{\pi}{2}+k2\pi$, $k\in\Z$

Xem đáp án và lời giải

Đáp án: D

Lời giải: Theo công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản: $x=-\frac{\pi}{2}+k2\pi$, $k\in\Z$.

Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 09 (tự biên soạn theo ma trận)

PHẦN II. Trắc nghiệm đúng sai

Đúng/SaiThông hiểuLớp 11

Câu 11. Cho $\sin\alpha=- \frac{7}{25}$ với $\frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi$.

a) $\cos\alpha<0$.
b) $\sin(\pi-\alpha)=- \frac{7}{25}$.
c) $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$.
d) $\cos2\alpha=\frac{527}{625}$.

Xem đáp án và lời giải

Đáp án: a) Sai · b) Đúng · c) Đúng · d) Đúng

Lời giải: a) Sai. $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ IV nên $\cos\alpha>0$.
b) Đúng. $\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha$.
c) Đúng. Công thức nhân đôi.
d) Đúng. $\cos2\alpha=1-2\sin^{2}\alpha=\frac{527}{625}$.

Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 09 (tự biên soạn theo ma trận)

Đúng/SaiThông hiểuLớp 11

Câu 12. Cho hàm số $f(x)=\sin x$.

a) Hàm số $f(x)$ tuần hoàn với chu kì $\pi$.
b) Đồ thị hàm số $y=f(x)$ nhận trục tung làm trục đối xứng.
c) Tập xác định của hàm số $f(x)$ là $D=\R\setminus\{k\pi,k\in\Z\}$.
d) Phương trình $2f(x)+1=0$ có đúng $0$ nghiệm thuộc đoạn $[0;\pi]$.

Xem đáp án và lời giải

Đáp án: a) Sai · b) Sai · c) Sai · d) Đúng

Lời giải: a) Sai. Hàm số $y=\sin x$ tuần hoàn với chu kì $2\pi$.
b) Sai. Hàm số lẻ có đồ thị nhận gốc tọa độ $O$ làm tâm đối xứng.
c) Sai. $\sin x$ xác định với mọi $x\in\R$.
d) Đúng. Phương trình ⇔ $\sin x=- \frac{1}{2}$; trên đoạn $[0;\pi]$ có $0$ nghiệm: $$.

Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 09 (tự biên soạn theo ma trận)

PHẦN III. Trả lời ngắn

Trả lời ngắnThông hiểuLớp 11

Câu 13. Cho $\sin a=\frac{3}{5}$, $\cos b=\frac{12}{13}$ với $0<a<\frac{\pi}{2}$, $0<b<\frac{\pi}{2}$. Tính $\cos(a+b)$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

✍️ Câu trả lời ngắn: học sinh điền đáp số (tối đa 4 ký tự, dùng dấu phẩy thập phân).

Xem đáp án và lời giải

Đáp án: 0,51

Lời giải: $\cos a=\frac{4}{5}$, $\sin b=\frac{5}{13}$. Áp dụng công thức cộng: $\cos(a+b)=\frac{33}{65}\approx0{,}51$.

Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 09 (tự biên soạn theo ma trận)

Trả lời ngắnThông hiểuLớp 11

Câu 14. Phương trình $2\sin2x-1=0$ có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn $[-\pi;\pi]$?

✍️ Câu trả lời ngắn: học sinh điền đáp số (tối đa 4 ký tự, dùng dấu phẩy thập phân).

Xem đáp án và lời giải

Đáp án: 4

Lời giải: Phương trình ⇔ $\sin2x=\frac{1}{2}$. Các nghiệm thuộc đoạn $[-\pi;\pi]$ là: $- \frac{11 \pi}{12};\,- \frac{7 \pi}{12};\,\frac{\pi}{12};\,\frac{5 \pi}{12}$. Vậy có $4$ nghiệm.

Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 09 (tự biên soạn theo ma trận)

Trả lời ngắnVận dụngLớp 11

Câu 15. Kim phút của một chiếc đồng hồ dài $8$ cm. Trong $15$ phút, đầu kim phút vạch nên một cung tròn có độ dài bao nhiêu xentimét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

✍️ Câu trả lời ngắn: học sinh điền đáp số (tối đa 4 ký tự, dùng dấu phẩy thập phân).

Xem đáp án và lời giải

Đáp án: 12,6

Lời giải: Trong $15$ phút kim phút quay được góc $\frac{15}{60}\cdot2\pi=\frac{\pi}{2}$ rad. Độ dài cung: $l=8\cdot\frac{\pi}{2}=4 \pi\approx12{,}6$ (cm).

Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 09 (tự biên soạn theo ma trận)

Trả lời ngắnVận dụngLớp 11

Câu 16. Độ sâu mực nước tại một cảng biển được cho bởi $h(t)=12+2\cos\frac{\pi t}{6}$ (m), với $t$ (giờ) là thời gian tính từ lúc 0 giờ. Sau 0 giờ, thời điểm đầu tiên mực nước có độ sâu $11$ m là lúc mấy giờ?

✍️ Câu trả lời ngắn: học sinh điền đáp số (tối đa 4 ký tự, dùng dấu phẩy thập phân).

Xem đáp án và lời giải

Đáp án: 4

Lời giải: $h(t)=11$ ⇔ $\cos\frac{\pi t}{6}=- \frac{1}{2}$; nghiệm dương nhỏ nhất là $t=4$.

Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 09 (tự biên soạn theo ma trận)

PHẦN IV. Tự luận

Tự luậnThông hiểuLớp 11

Câu 17. Giải các phương trình sau:

a) $2\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)+1=0$;
b) $\sqrt{3}\cot3x-1=0$.

📝 Câu tự luận (1,5 điểm): học sinh trình bày lời giải; chấm theo thang điểm trong lời giải.

Xem đáp án và lời giải

Đáp án: Tự luận (1,5 điểm) – xem lời giải và thang điểm

Lời giải: a) $2\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)+1=0$ ⇔ $\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=- \frac{1}{2}=\sin\left(- \frac{\pi}{6}\right)$ (0,25 điểm)
⇔ $2x+\frac{\pi}{6}=- \frac{\pi}{6}+k2\pi$ hoặc $2x+\frac{\pi}{6}=\frac{7 \pi}{6}+k2\pi$ ⇔ $x=- \frac{\pi}{6}+k\pi$ hoặc $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$, $k\in\Z$. (0,5 điểm)
b) $\sqrt{3}\cot3x-1=0$ ⇔ $\cot3x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\cot\frac{\pi}{3}$ (0,25 điểm)
⇔ $3x=\frac{\pi}{3}+k\pi$ ⇔ $x=\frac{\pi}{9}+k\frac{\pi}{3}$, $k\in\Z$. (0,5 điểm)

Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 09 (tự biên soạn theo ma trận)

Tự luậnVận dụngLớp 11

Câu 18. Giải phương trình $\sin\left(3x-\frac{\pi}{3}\right)+\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=0$.

📝 Câu tự luận (1 điểm): học sinh trình bày lời giải; chấm theo thang điểm trong lời giải.

Xem đáp án và lời giải

Đáp án: Tự luận (1 điểm) – xem lời giải và thang điểm

Lời giải: $\sin\left(3x-\frac{\pi}{3}\right)+\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=0$ ⇔ $\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=-\sin\left(3x-\frac{\pi}{3}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}+3x-\frac{\pi}{3}\right)$ ⇔ $2x+\frac{\pi}{3}=\pm\left(\frac{\pi}{2}+3x-\frac{\pi}{3}\right)+k2\pi$ (0,25 điểm)
⇔ $x=\frac{\pi}{6}+k2\pi$ hoặc $x=- \frac{\pi}{10}+k\frac{2\pi}{5}$, $k\in\Z$. (0,75 điểm)

Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 09 (tự biên soạn theo ma trận)

Tự luậnVận dụngLớp 11

Câu 19. Độ sâu $h$ (m) của mực nước ở một cảng biển vào thời điểm $t$ (giờ) sau 0 giờ trong một ngày được tính bởi công thức $h(t)=4\cos\left(\frac{\pi t}{12}+\frac{\pi}{3}\right)+12$, với $0\le t\le24$. Mực nước tại cảng cao nhất là bao nhiêu mét và đạt được vào thời điểm nào?

📝 Câu tự luận (1 điểm): học sinh trình bày lời giải; chấm theo thang điểm trong lời giải.

Xem đáp án và lời giải

Đáp án: Tự luận (1 điểm) – xem lời giải và thang điểm

Lời giải: Vì $-1\le\cos\left(\frac{\pi t}{12}+\frac{\pi}{3}\right)\le1$ nên $h(t)\le16$; dấu bằng ⇔ $\cos\left(\frac{\pi t}{12}+\frac{\pi}{3}\right)=1$ ⇔ $\frac{\pi t}{12}+\frac{\pi}{3}=k2\pi$ ⇔ $t=-4+24k$, $k\in\Z$. (0,25 điểm)
Với $0\le t\le24$: $t\in\left\{20\right\}$. Mực nước cao nhất là $16$ m, vào lúc $t=20$ giờ. (0,75 điểm)

Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 09 (tự biên soạn theo ma trận)

Bảng đáp án

Câu	Đáp án
1	A
2	A
3	B
4	D
5	C
6	A
7	D
8	B
9	C
10	D
11	a) Sai · b) Đúng · c) Đúng · d) Đúng
12	a) Sai · b) Sai · c) Sai · d) Đúng
13	0,51
14	4
15	12,6
16	4

Đề cùng loại

Toán 11 – Cuối chương I – Đề 01Toán 11 – Cuối chương I – Đề 02Toán 11 – Cuối chương I – Đề 03Toán 11 – Cuối chương I – Đề 04Toán 11 – Cuối chương I – Đề 05Toán 11 – Cuối chương I – Đề 06Toán 11 – Cuối chương I – Đề 07Toán 11 – Cuối chương I – Đề 08Toán 11 – Cuối chương I – Đề 10