Soạn đề nhanhTrang chủ › Đề kiểm tra Toán 11 › Toán 11 – Cuối chương I – Đề 06
Toán 11 – Cuối chương I – Đề 06 (45 phút)
Đề gồm 19 câu, biên soạn theo ma trận và bản đặc tả, đúng cấu trúc đề kiểm tra từ năm 2025. Đáp án và lời giải ở dưới từng câu; bảng đáp án ở cuối đề.
PHẦN I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Trắc nghiệmNhận biếtLớp 11
Câu 1. Góc có số đo $315^{\circ}$ đổi sang radian là
- A. $\frac{2 \pi}{3}$
- B. $\frac{7 \pi}{4}$
- C. $\frac{3 \pi}{4}$
- D. $\frac{5 \pi}{3}$
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: B
Lời giải: Áp dụng $\alpha\ (\text{rad})=\frac{\pi}{180}\cdot a^{\circ}$ và độ dài cung $l=R\alpha$. Đáp án: $\frac{7 \pi}{4}$.
Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 06 (tự biên soạn theo ma trận)
Trắc nghiệmNhận biếtLớp 11
Câu 2. Trên đường tròn lượng giác, điểm $M(x;y)$ là điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo $\alpha$. Khẳng định nào sau đây đúng?
- A. $\cos\alpha=x$
- B. $\cot\alpha=\frac{y}{x}$
- C. $\cos\alpha=y$
- D. $\sin\alpha=x$
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: A
Lời giải: Dựa vào định nghĩa giá trị lượng giác trên đường tròn lượng giác và dấu của các giá trị lượng giác. Đáp án: $\cos\alpha=x$.
Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 06 (tự biên soạn theo ma trận)
Trắc nghiệmNhận biếtLớp 11
Câu 3. Với mọi góc $\alpha$ làm biểu thức có nghĩa, ta có $\cos\left(-\alpha\right)$ bằng
- A. $\cos\alpha$
- B. $\sin\alpha$
- C. $-\cos\alpha$
- D. $-\sin\alpha$
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: A
Lời giải: Áp dụng công thức giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt (đối nhau, bù nhau, phụ nhau, hơn kém π). Đáp án: $\cos\alpha$.
Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 06 (tự biên soạn theo ma trận)
Trắc nghiệmNhận biếtLớp 11
Câu 4. Với mọi số thực $a$ làm biểu thức có nghĩa, công thức nào sau đây đúng?
- A. $\sin2a=\cos^{2}a-\sin^{2}a$
- B. $\sin2a=\sin a\cos a$
- C. $\sin2a=2\sin a\cos a$
- D. $\sin2a=2\sin a$
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: C
Lời giải: Theo công thức cộng / công thức nhân đôi: $\sin2a=2\sin a\cos a$.
Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 06 (tự biên soạn theo ma trận)
Trắc nghiệmNhận biếtLớp 11
Câu 5. Với mọi số thực $a,b$ làm các biểu thức có nghĩa, công thức nào sau đây đúng?
- A. $\sin a-\sin b=2\sin\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}$
- B. $\sin a-\sin b=2\cos\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}$
- C. $\sin a-\sin b=2\cos\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}$
- D. $\sin a-\sin b=-2\sin\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}$
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: B
Lời giải: Theo công thức biến đổi tích thành tổng / tổng thành tích: $\sin a-\sin b=2\cos\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}$.
Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 06 (tự biên soạn theo ma trận)
Trắc nghiệmNhận biếtLớp 11
Câu 6. Hàm số $y=\cos x$ tuần hoàn với chu kì
- A. $4\pi$
- B. $\pi$
- C. $\frac{\pi}{2}$
- D. $2\pi$
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: D
Lời giải: Dựa vào tính chất của các hàm số lượng giác (tập xác định, tập giá trị, tính chẵn lẻ, chu kì, tính đơn điệu). Đáp án: $2\pi$.
Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 06 (tự biên soạn theo ma trận)
Trắc nghiệmNhận biếtLớp 11
Câu 7. Tập xác định của hàm số $y=\cot x$ là
- A. $\R\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\Z\right\}$
- B. $\R$
- C. $\R\setminus\{k2\pi,k\in\Z\}$
- D. $\R\setminus\{k\pi,k\in\Z\}$
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: D
Lời giải: Dựa vào tính chất của các hàm số lượng giác (tập xác định, tập giá trị, tính chẵn lẻ, chu kì, tính đơn điệu). Đáp án: $\R\setminus\{k\pi,k\in\Z\}$.
Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 06 (tự biên soạn theo ma trận)
Trắc nghiệmNhận biếtLớp 11
Câu 8. Phương trình $\cot x=\cot\alpha$ có nghiệm là
- A. $x=\alpha+k\pi$, $k\in\Z$
- B. $x=\alpha+k2\pi$, $k\in\Z$
- C. $x=\pm\alpha+k2\pi$, $k\in\Z$
- D. $x=\pi-\alpha+k\pi$, $k\in\Z$
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: A
Lời giải: Theo công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản: $x=\alpha+k\pi$, $k\in\Z$.
Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 06 (tự biên soạn theo ma trận)
Trắc nghiệmNhận biếtLớp 11
Câu 9. Nghiệm của phương trình $\tan x=1$ là
- A. $x=-\frac{\pi}{4}+k\pi$, $k\in\Z$
- B. $x=\frac{\pi}{4}+k\pi$, $k\in\Z$
- C. $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$, $k\in\Z$
- D. $x=\frac{\pi}{4}+k2\pi$, $k\in\Z$
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: B
Lời giải: Theo công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản: $x=\frac{\pi}{4}+k\pi$, $k\in\Z$.
Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 06 (tự biên soạn theo ma trận)
Trắc nghiệmNhận biếtLớp 11
Câu 10. Nghiệm của phương trình $\cot x=0$ là
- A. $x=k2\pi$, $k\in\Z$
- B. $x=k\pi$, $k\in\Z$
- C. $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$, $k\in\Z$
- D. $x=\frac{\pi}{4}+k\pi$, $k\in\Z$
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: C
Lời giải: Theo công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản: $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$, $k\in\Z$.
Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 06 (tự biên soạn theo ma trận)
PHẦN II. Trắc nghiệm đúng sai
Đúng/SaiThông hiểuLớp 11
Câu 11. Cho $\sin\alpha=- \frac{5}{13}$ với $\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}$.
- a) $\tan\alpha>0$.
- b) $\cos(-\alpha)=\frac{12}{13}$.
- c) $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$.
- d) $\sin2\alpha=\frac{120}{169}$.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: a) Đúng · b) Sai · c) Đúng · d) Đúng
Lời giải: a) Đúng. $\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ dương vì $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ III.
b) Sai. $\cos(-\alpha)=\cos\alpha=- \frac{12}{13}$.
c) Đúng. Công thức nhân đôi.
d) Đúng. $\cos\alpha=- \frac{12}{13}$ nên $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{120}{169}$.
b) Sai. $\cos(-\alpha)=\cos\alpha=- \frac{12}{13}$.
c) Đúng. Công thức nhân đôi.
d) Đúng. $\cos\alpha=- \frac{12}{13}$ nên $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{120}{169}$.
Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 06 (tự biên soạn theo ma trận)
Đúng/SaiThông hiểuLớp 11
Câu 12. Cho hàm số $f(x)=\cot x$.
- a) $f\left(\frac{3 \pi}{4}\right)=1$.
- b) Hàm số $f(x)$ là hàm số chẵn.
- c) Tập xác định của hàm số $f(x)$ là $D=\R\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\Z\right\}$.
- d) Phương trình $f(x)-\sqrt{3}=0$ có đúng $2$ nghiệm thuộc đoạn $[0;2\pi]$.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: a) Sai · b) Sai · c) Sai · d) Đúng
Lời giải: a) Sai. $f\left(\frac{3 \pi}{4}\right)=\cot\frac{3 \pi}{4}=-1$.
b) Sai. $f(-x)=\cot(-x)=-\cot x=-f(x)$ nên $f$ là hàm số lẻ.
c) Sai. $\cot x$ xác định ⇔ $\sin x\ne0$ ⇔ $x\ne k\pi$.
d) Đúng. Phương trình ⇔ $\cot x=\sqrt{3}$; trên đoạn $[0;2\pi]$ có $2$ nghiệm: $\frac{\pi}{6};\,\frac{7 \pi}{6}$.
b) Sai. $f(-x)=\cot(-x)=-\cot x=-f(x)$ nên $f$ là hàm số lẻ.
c) Sai. $\cot x$ xác định ⇔ $\sin x\ne0$ ⇔ $x\ne k\pi$.
d) Đúng. Phương trình ⇔ $\cot x=\sqrt{3}$; trên đoạn $[0;2\pi]$ có $2$ nghiệm: $\frac{\pi}{6};\,\frac{7 \pi}{6}$.
Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 06 (tự biên soạn theo ma trận)
PHẦN III. Trả lời ngắn
Trả lời ngắnThông hiểuLớp 11
Câu 13. Cho $\sin a=\frac{5}{13}$, $\cos b=\frac{4}{5}$ với $0<a<\frac{\pi}{2}$, $0<b<\frac{\pi}{2}$. Tính $\sin(a+b)$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
✍️ Câu trả lời ngắn: học sinh điền đáp số (tối đa 4 ký tự, dùng dấu phẩy thập phân).
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: 0,86
Lời giải: $\cos a=\frac{12}{13}$, $\sin b=\frac{3}{5}$. Áp dụng công thức cộng: $\sin(a+b)=\frac{56}{65}\approx0{,}86$.
Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 06 (tự biên soạn theo ma trận)
Trả lời ngắnThông hiểuLớp 11
Câu 14. Phương trình $2\cos3x-1=0$ có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn $[0;\pi]$?
✍️ Câu trả lời ngắn: học sinh điền đáp số (tối đa 4 ký tự, dùng dấu phẩy thập phân).
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: 3
Lời giải: Phương trình ⇔ $\cos3x=\frac{1}{2}$. Các nghiệm thuộc đoạn $[0;\pi]$ là: $\frac{\pi}{9};\,\frac{5 \pi}{9};\,\frac{7 \pi}{9}$. Vậy có $3$ nghiệm.
Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 06 (tự biên soạn theo ma trận)
Trả lời ngắnVận dụngLớp 11
Câu 15. Kim phút của một chiếc đồng hồ dài $10$ cm. Trong $50$ phút, đầu kim phút vạch nên một cung tròn có độ dài bao nhiêu xentimét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
✍️ Câu trả lời ngắn: học sinh điền đáp số (tối đa 4 ký tự, dùng dấu phẩy thập phân).
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: 52,4
Lời giải: Trong $50$ phút kim phút quay được góc $\frac{50}{60}\cdot2\pi=\frac{5 \pi}{3}$ rad. Độ dài cung: $l=10\cdot\frac{5 \pi}{3}=\frac{50 \pi}{3}\approx52{,}4$ (cm).
Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 06 (tự biên soạn theo ma trận)
Trả lời ngắnVận dụngLớp 11
Câu 16. Độ sâu mực nước tại một cảng biển được cho bởi $h(t)=8+2\cos\frac{\pi t}{6}$ (m), với $t$ (giờ) là thời gian tính từ lúc 0 giờ. Sau 0 giờ, thời điểm đầu tiên mực nước có độ sâu $9$ m là lúc mấy giờ?
✍️ Câu trả lời ngắn: học sinh điền đáp số (tối đa 4 ký tự, dùng dấu phẩy thập phân).
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: 2
Lời giải: $h(t)=9$ ⇔ $\cos\frac{\pi t}{6}=\frac{1}{2}$; nghiệm dương nhỏ nhất là $t=2$.
Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 06 (tự biên soạn theo ma trận)
PHẦN IV. Tự luận
Tự luậnThông hiểuLớp 11
Câu 17. Giải các phương trình sau:
a) $2\sin\left(3x-\frac{\pi}{6}\right)+\sqrt{2}=0$;
b) $\tan\left(3x-\frac{\pi}{3}\right)+\sqrt{3}=0$.
a) $2\sin\left(3x-\frac{\pi}{6}\right)+\sqrt{2}=0$;
b) $\tan\left(3x-\frac{\pi}{3}\right)+\sqrt{3}=0$.
📝 Câu tự luận (1,5 điểm): học sinh trình bày lời giải; chấm theo thang điểm trong lời giải.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: Tự luận (1,5 điểm) – xem lời giải và thang điểm
Lời giải: a) $2\sin\left(3x-\frac{\pi}{6}\right)+\sqrt{2}=0$ ⇔ $\sin\left(3x-\frac{\pi}{6}\right)=- \frac{\sqrt{2}}{2}=\sin\left(- \frac{\pi}{4}\right)$ (0,25 điểm)
⇔ $3x-\frac{\pi}{6}=- \frac{\pi}{4}+k2\pi$ hoặc $3x-\frac{\pi}{6}=\frac{5 \pi}{4}+k2\pi$ ⇔ $x=- \frac{\pi}{36}+k\frac{2\pi}{3}$ hoặc $x=\frac{17 \pi}{36}+k\frac{2\pi}{3}$, $k\in\Z$. (0,5 điểm)
b) $\tan\left(3x-\frac{\pi}{3}\right)+\sqrt{3}=0$ ⇔ $\tan\left(3x-\frac{\pi}{3}\right)=- \sqrt{3}=\tan\left(- \frac{\pi}{3}\right)$ (0,25 điểm)
⇔ $3x-\frac{\pi}{3}=- \frac{\pi}{3}+k\pi$ ⇔ $x=k\frac{\pi}{3}$, $k\in\Z$. (0,5 điểm)
⇔ $3x-\frac{\pi}{6}=- \frac{\pi}{4}+k2\pi$ hoặc $3x-\frac{\pi}{6}=\frac{5 \pi}{4}+k2\pi$ ⇔ $x=- \frac{\pi}{36}+k\frac{2\pi}{3}$ hoặc $x=\frac{17 \pi}{36}+k\frac{2\pi}{3}$, $k\in\Z$. (0,5 điểm)
b) $\tan\left(3x-\frac{\pi}{3}\right)+\sqrt{3}=0$ ⇔ $\tan\left(3x-\frac{\pi}{3}\right)=- \sqrt{3}=\tan\left(- \frac{\pi}{3}\right)$ (0,25 điểm)
⇔ $3x-\frac{\pi}{3}=- \frac{\pi}{3}+k\pi$ ⇔ $x=k\frac{\pi}{3}$, $k\in\Z$. (0,5 điểm)
Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 06 (tự biên soạn theo ma trận)
Tự luậnVận dụngLớp 11
Câu 18. Giải phương trình $\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)=\cos\left(4x+\frac{\pi}{3}\right)$.
📝 Câu tự luận (1 điểm): học sinh trình bày lời giải; chấm theo thang điểm trong lời giải.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: Tự luận (1 điểm) – xem lời giải và thang điểm
Lời giải: $\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)=\cos\left(4x+\frac{\pi}{3}\right)$ ⇔ $\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\left(4x+\frac{\pi}{3}\right)\right)$ ⇔ $2x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}-\left(4x+\frac{\pi}{3}\right)+k2\pi$ hoặc $2x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+4x+\frac{\pi}{3}+k2\pi$ (0,25 điểm)
⇔ $x=\frac{\pi}{12}+k\frac{\pi}{3}$ hoặc $x=- \frac{7 \pi}{12}+k\pi$, $k\in\Z$. (0,75 điểm)
⇔ $x=\frac{\pi}{12}+k\frac{\pi}{3}$ hoặc $x=- \frac{7 \pi}{12}+k\pi$, $k\in\Z$. (0,75 điểm)
Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 06 (tự biên soạn theo ma trận)
Tự luậnVận dụngLớp 11
Câu 19. Độ sâu $h$ (m) của mực nước ở một cảng biển vào thời điểm $t$ (giờ) sau 0 giờ trong một ngày được tính bởi công thức $h(t)=3\cos\left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi}{6}\right)+14$, với $0\le t\le24$. Mực nước tại cảng thấp nhất là bao nhiêu mét và đạt được vào thời điểm nào?
📝 Câu tự luận (1 điểm): học sinh trình bày lời giải; chấm theo thang điểm trong lời giải.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: Tự luận (1 điểm) – xem lời giải và thang điểm
Lời giải: Vì $-1\le\cos\left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi}{6}\right)\le1$ nên $h(t)\ge11$; dấu bằng ⇔ $\cos\left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi}{6}\right)=-1$ ⇔ $\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi}{6}=\pi+k2\pi$ ⇔ $t=5+12k$, $k\in\Z$. (0,25 điểm)
Với $0\le t\le24$: $t\in\left\{5;\,17\right\}$. Mực nước thấp nhất là $11$ m, vào lúc $t=5;\,17$ giờ. (0,75 điểm)
Với $0\le t\le24$: $t\in\left\{5;\,17\right\}$. Mực nước thấp nhất là $11$ m, vào lúc $t=5;\,17$ giờ. (0,75 điểm)
Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 06 (tự biên soạn theo ma trận)
Bảng đáp án
| Câu | Đáp án |
|---|---|
| 1 | B |
| 2 | A |
| 3 | A |
| 4 | C |
| 5 | B |
| 6 | D |
| 7 | D |
| 8 | A |
| 9 | B |
| 10 | C |
| 11 | a) Đúng · b) Sai · c) Đúng · d) Đúng |
| 12 | a) Sai · b) Sai · c) Sai · d) Đúng |
| 13 | 0,86 |
| 14 | 3 |
| 15 | 52,4 |
| 16 | 2 |