Soạn đề nhanhTrang chủ › Đề kiểm tra Toán 11 › Toán 11 – Cuối chương I – Đề 07
Toán 11 – Cuối chương I – Đề 07 (45 phút)
Đề gồm 19 câu, biên soạn theo ma trận và bản đặc tả, đúng cấu trúc đề kiểm tra từ năm 2025. Đáp án và lời giải ở dưới từng câu; bảng đáp án ở cuối đề.
PHẦN I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Trắc nghiệmNhận biếtLớp 11
Câu 1. Góc có số đo $30^{\circ}$ đổi sang radian là
- A. $\frac{\pi}{4}$
- B. $\frac{\pi}{6}$
- C. $\frac{5 \pi}{3}$
- D. $\frac{4 \pi}{3}$
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: B
Lời giải: Áp dụng $\alpha\ (\text{rad})=\frac{\pi}{180}\cdot a^{\circ}$ và độ dài cung $l=R\alpha$. Đáp án: $\frac{\pi}{6}$.
Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 07 (tự biên soạn theo ma trận)
Trắc nghiệmNhận biếtLớp 11
Câu 2. Giá trị của $\cos\frac{\pi}{4}$ bằng
- A. $- \frac{\sqrt{2}}{2}$
- B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
- C. $\frac{1}{2}$
- D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: D
Lời giải: Dựa vào định nghĩa giá trị lượng giác trên đường tròn lượng giác và dấu của các giá trị lượng giác. Đáp án: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 07 (tự biên soạn theo ma trận)
Trắc nghiệmNhận biếtLớp 11
Câu 3. Với mọi góc $\alpha$ làm biểu thức có nghĩa, ta có $\cos\left(\pi-\alpha\right)$ bằng
- A. $\cos\alpha$
- B. $-\sin\alpha$
- C. $-\cos\alpha$
- D. $\sin\alpha$
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: C
Lời giải: Áp dụng công thức giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt (đối nhau, bù nhau, phụ nhau, hơn kém π). Đáp án: $-\cos\alpha$.
Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 07 (tự biên soạn theo ma trận)
Trắc nghiệmNhận biếtLớp 11
Câu 4. Với mọi số thực $a$ làm biểu thức có nghĩa, ta có $\cos2a$ bằng
- A. $\cos^{2}a-\sin^{2}a$
- B. $\sin^{2}a-\cos^{2}a$
- C. $2\sin a\cos a$
- D. $\cos^{2}a+\sin^{2}a$
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: A
Lời giải: Theo công thức cộng / công thức nhân đôi: $\cos^{2}a-\sin^{2}a$.
Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 07 (tự biên soạn theo ma trận)
Trắc nghiệmNhận biếtLớp 11
Câu 5. Với mọi số thực $a,b$ làm các biểu thức có nghĩa, công thức nào sau đây đúng?
- A. $\cos a-\cos b=-2\sin\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}$
- B. $\cos a-\cos b=2\cos\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}$
- C. $\cos a-\cos b=2\cos\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}$
- D. $\cos a-\cos b=2\sin\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}$
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: A
Lời giải: Theo công thức biến đổi tích thành tổng / tổng thành tích: $\cos a-\cos b=-2\sin\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}$.
Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 07 (tự biên soạn theo ma trận)
Trắc nghiệmNhận biếtLớp 11
Câu 6. Tập xác định của hàm số $y=\tan x$ là
- A. $\R$
- B. $\R\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\Z\right\}$
- C. $\R\setminus\{k\pi,k\in\Z\}$
- D. $\R\setminus\{k2\pi,k\in\Z\}$
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: B
Lời giải: Dựa vào tính chất của các hàm số lượng giác (tập xác định, tập giá trị, tính chẵn lẻ, chu kì, tính đơn điệu). Đáp án: $\R\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\Z\right\}$.
Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 07 (tự biên soạn theo ma trận)
Trắc nghiệmNhận biếtLớp 11
Câu 7. Hàm số $y=\cos x$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
- A. $\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$
- B. $(-\pi;0)$
- C. $(\pi;2\pi)$
- D. $(0;\pi)$
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: D
Lời giải: Dựa vào tính chất của các hàm số lượng giác (tập xác định, tập giá trị, tính chẵn lẻ, chu kì, tính đơn điệu). Đáp án: $(0;\pi)$.
Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 07 (tự biên soạn theo ma trận)
Trắc nghiệmNhận biếtLớp 11
Câu 8. Nghiệm của phương trình $\cos x=0$ là
- A. $x=k\pi$, $k\in\Z$
- B. $x=k2\pi$, $k\in\Z$
- C. $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$, $k\in\Z$
- D. $x=\frac{\pi}{2}+k2\pi$, $k\in\Z$
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: C
Lời giải: Theo công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản: $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$, $k\in\Z$.
Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 07 (tự biên soạn theo ma trận)
Trắc nghiệmNhận biếtLớp 11
Câu 9. Phương trình $\cot x=\cot\alpha$ có nghiệm là
- A. $x=\pi-\alpha+k\pi$, $k\in\Z$
- B. $x=\pm\alpha+k2\pi$, $k\in\Z$
- C. $x=\alpha+k2\pi$, $k\in\Z$
- D. $x=\alpha+k\pi$, $k\in\Z$
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: D
Lời giải: Theo công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản: $x=\alpha+k\pi$, $k\in\Z$.
Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 07 (tự biên soạn theo ma trận)
Trắc nghiệmNhận biếtLớp 11
Câu 10. Nghiệm của phương trình $\sin x=-1$ là
- A. $x=-\frac{\pi}{2}+k2\pi$, $k\in\Z$
- B. $x=-\frac{\pi}{2}+k\pi$, $k\in\Z$
- C. $x=k2\pi$, $k\in\Z$
- D. $x=\frac{\pi}{2}+k2\pi$, $k\in\Z$
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: A
Lời giải: Theo công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản: $x=-\frac{\pi}{2}+k2\pi$, $k\in\Z$.
Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 07 (tự biên soạn theo ma trận)
PHẦN II. Trắc nghiệm đúng sai
Đúng/SaiThông hiểuLớp 11
Câu 11. Cho $\sin\alpha=- \frac{12}{13}$ với $\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}$.
- a) $\tan\alpha>0$.
- b) $\sin(\pi-\alpha)=\frac{12}{13}$.
- c) $\cos2\alpha=2\cos^{2}\alpha+1$.
- d) $\cos2\alpha=- \frac{119}{169}$.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: a) Đúng · b) Sai · c) Sai · d) Đúng
Lời giải: a) Đúng. $\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ dương vì $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ III.
b) Sai. $\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha=- \frac{12}{13}$.
c) Sai. $\cos2\alpha=2\cos^{2}\alpha-1$.
d) Đúng. $\cos2\alpha=1-2\sin^{2}\alpha=- \frac{119}{169}$.
b) Sai. $\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha=- \frac{12}{13}$.
c) Sai. $\cos2\alpha=2\cos^{2}\alpha-1$.
d) Đúng. $\cos2\alpha=1-2\sin^{2}\alpha=- \frac{119}{169}$.
Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 07 (tự biên soạn theo ma trận)
Đúng/SaiThông hiểuLớp 11
Câu 12. Cho hàm số $f(x)=\tan x$.
- a) Hàm số $f(x)$ là hàm số chẵn.
- b) Đồ thị hàm số $y=f(x)$ nhận gốc tọa độ $O$ làm tâm đối xứng.
- c) Tập giá trị của hàm số $f(x)$ là $\R$.
- d) Phương trình $\sqrt{3}f(x)-1=0$ có đúng $1$ nghiệm thuộc đoạn $[0;\pi]$.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: a) Sai · b) Đúng · c) Đúng · d) Đúng
Lời giải: a) Sai. $f(-x)=\tan(-x)=-\tan x=-f(x)$ nên $f$ là hàm số lẻ.
b) Đúng. Hàm số lẻ có đồ thị nhận gốc tọa độ $O$ làm tâm đối xứng.
c) Đúng. Tập giá trị của hàm số $y=\tan x$ là $\R$.
d) Đúng. Phương trình ⇔ $\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}$; trên đoạn $[0;\pi]$ có $1$ nghiệm: $\frac{\pi}{6}$.
b) Đúng. Hàm số lẻ có đồ thị nhận gốc tọa độ $O$ làm tâm đối xứng.
c) Đúng. Tập giá trị của hàm số $y=\tan x$ là $\R$.
d) Đúng. Phương trình ⇔ $\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}$; trên đoạn $[0;\pi]$ có $1$ nghiệm: $\frac{\pi}{6}$.
Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 07 (tự biên soạn theo ma trận)
PHẦN III. Trả lời ngắn
Trả lời ngắnThông hiểuLớp 11
Câu 13. Cho $\sin a=\frac{5}{13}$, $\cos b=\frac{24}{25}$ với $0<a<\frac{\pi}{2}$, $0<b<\frac{\pi}{2}$. Tính $\sin(a+b)$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
✍️ Câu trả lời ngắn: học sinh điền đáp số (tối đa 4 ký tự, dùng dấu phẩy thập phân).
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: 0,63
Lời giải: $\cos a=\frac{12}{13}$, $\sin b=\frac{7}{25}$. Áp dụng công thức cộng: $\sin(a+b)=\frac{204}{325}\approx0{,}63$.
Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 07 (tự biên soạn theo ma trận)
Trả lời ngắnThông hiểuLớp 11
Câu 14. Phương trình $2\cos2x-\sqrt{3}=0$ có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn $[0;2\pi]$?
✍️ Câu trả lời ngắn: học sinh điền đáp số (tối đa 4 ký tự, dùng dấu phẩy thập phân).
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: 4
Lời giải: Phương trình ⇔ $\cos2x=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Các nghiệm thuộc đoạn $[0;2\pi]$ là: $\frac{\pi}{12};\,\frac{11 \pi}{12};\,\frac{13 \pi}{12};\,\frac{23 \pi}{12}$. Vậy có $4$ nghiệm.
Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 07 (tự biên soạn theo ma trận)
Trả lời ngắnVận dụngLớp 11
Câu 15. Một bánh xe có bán kính $35$ cm quay quanh một trục cố định nằm ngang, trục cách mặt đất $44$ cm. Chiếc van trên vành bánh xe ban đầu ở vị trí thấp nhất. Khi bánh xe quay được một góc $240^{\circ}$ thì chiếc van cách mặt đất bao nhiêu xentimét?
✍️ Câu trả lời ngắn: học sinh điền đáp số (tối đa 4 ký tự, dùng dấu phẩy thập phân).
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: 61,5
Lời giải: Góc giữa bán kính chứa van và tia hướng thẳng xuống là $240^{\circ}$ nên $h=44-35\cos240^{\circ}=\frac{123}{2}$ (cm).
Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 07 (tự biên soạn theo ma trận)
Trả lời ngắnVận dụngLớp 11
Câu 16. Độ sâu mực nước tại một cảng biển được cho bởi $h(t)=12+2\cos\frac{\pi t}{6}$ (m), với $t$ (giờ) là thời gian tính từ lúc 0 giờ. Sau 0 giờ, thời điểm đầu tiên mực nước có độ sâu $13$ m là lúc mấy giờ?
✍️ Câu trả lời ngắn: học sinh điền đáp số (tối đa 4 ký tự, dùng dấu phẩy thập phân).
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: 2
Lời giải: $h(t)=13$ ⇔ $\cos\frac{\pi t}{6}=\frac{1}{2}$; nghiệm dương nhỏ nhất là $t=2$.
Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 07 (tự biên soạn theo ma trận)
PHẦN IV. Tự luận
Tự luậnThông hiểuLớp 11
Câu 17. Giải các phương trình sau:
a) $2\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)+\sqrt{3}=0$;
b) $\cot\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)-1=0$.
a) $2\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)+\sqrt{3}=0$;
b) $\cot\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)-1=0$.
📝 Câu tự luận (1,5 điểm): học sinh trình bày lời giải; chấm theo thang điểm trong lời giải.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: Tự luận (1,5 điểm) – xem lời giải và thang điểm
Lời giải: a) $2\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)+\sqrt{3}=0$ ⇔ $\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)=- \frac{\sqrt{3}}{2}=\cos\frac{5 \pi}{6}$ (0,25 điểm)
⇔ $2x+\frac{\pi}{4}=\pm\frac{5 \pi}{6}+k2\pi$ ⇔ $x=\frac{7 \pi}{24}+k\pi$ hoặc $x=- \frac{13 \pi}{24}+k\pi$, $k\in\Z$. (0,5 điểm)
b) $\cot\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)-1=0$ ⇔ $\cot\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)=1=\cot\frac{\pi}{4}$ (0,25 điểm)
⇔ $2x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{4}+k\pi$ ⇔ $x=\frac{7 \pi}{24}+k\frac{\pi}{2}$, $k\in\Z$. (0,5 điểm)
⇔ $2x+\frac{\pi}{4}=\pm\frac{5 \pi}{6}+k2\pi$ ⇔ $x=\frac{7 \pi}{24}+k\pi$ hoặc $x=- \frac{13 \pi}{24}+k\pi$, $k\in\Z$. (0,5 điểm)
b) $\cot\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)-1=0$ ⇔ $\cot\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)=1=\cot\frac{\pi}{4}$ (0,25 điểm)
⇔ $2x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{4}+k\pi$ ⇔ $x=\frac{7 \pi}{24}+k\frac{\pi}{2}$, $k\in\Z$. (0,5 điểm)
Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 07 (tự biên soạn theo ma trận)
Tự luậnVận dụngLớp 11
Câu 18. Giải phương trình $\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)+\cos4x=0$.
📝 Câu tự luận (1 điểm): học sinh trình bày lời giải; chấm theo thang điểm trong lời giải.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: Tự luận (1 điểm) – xem lời giải và thang điểm
Lời giải: $\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)+\cos4x=0$ ⇔ $\cos\left(4x\right)=-\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}+2x+\frac{\pi}{4}\right)$ ⇔ $4x=\pm\left(\frac{\pi}{2}+2x+\frac{\pi}{4}\right)+k2\pi$ (0,25 điểm)
⇔ $x=\frac{3 \pi}{8}+k\pi$ hoặc $x=- \frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{3}$, $k\in\Z$. (0,75 điểm)
⇔ $x=\frac{3 \pi}{8}+k\pi$ hoặc $x=- \frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{3}$, $k\in\Z$. (0,75 điểm)
Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 07 (tự biên soạn theo ma trận)
Tự luậnVận dụngLớp 11
Câu 19. Một vật dao động điều hòa có li độ $x(t)=5\cos\left(2\pi t-\frac{\pi}{6}\right)$ (cm), trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây. Trong khoảng thời gian từ $0$ đến $3$ giây ($0\le t\le3$), vật đi qua vị trí cân bằng ($x=0$) bao nhiêu lần?
📝 Câu tự luận (1 điểm): học sinh trình bày lời giải; chấm theo thang điểm trong lời giải.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: Tự luận (1 điểm) – xem lời giải và thang điểm
Lời giải: $x(t)=0$ ⇔ $\cos\left(2\pi t-\frac{\pi}{6}\right)=0$ ⇔ $2\pi t-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+k\pi$ ⇔ $t=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}k$, $k\in\Z$. (0,25 điểm)
Với $0\le t\le3$ ta được $t\in\left\{\frac{1}{3};\,\frac{5}{6};\,\frac{4}{3};\,\frac{11}{6};\,\frac{7}{3};\,\frac{17}{6}\right\}$. Vậy vật qua vị trí cân bằng $6$ lần. (0,75 điểm)
Với $0\le t\le3$ ta được $t\in\left\{\frac{1}{3};\,\frac{5}{6};\,\frac{4}{3};\,\frac{11}{6};\,\frac{7}{3};\,\frac{17}{6}\right\}$. Vậy vật qua vị trí cân bằng $6$ lần. (0,75 điểm)
Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 07 (tự biên soạn theo ma trận)
Bảng đáp án
| Câu | Đáp án |
|---|---|
| 1 | B |
| 2 | D |
| 3 | C |
| 4 | A |
| 5 | A |
| 6 | B |
| 7 | D |
| 8 | C |
| 9 | D |
| 10 | A |
| 11 | a) Đúng · b) Sai · c) Sai · d) Đúng |
| 12 | a) Sai · b) Đúng · c) Đúng · d) Đúng |
| 13 | 0,63 |
| 14 | 4 |
| 15 | 61,5 |
| 16 | 2 |