Soạn đề nhanhTrang chủ › Đề kiểm tra Toán 11 › Toán 11 – Cuối chương I – Đề 08
Toán 11 – Cuối chương I – Đề 08 (45 phút)
Đề gồm 19 câu, biên soạn theo ma trận và bản đặc tả, đúng cấu trúc đề kiểm tra từ năm 2025. Đáp án và lời giải ở dưới từng câu; bảng đáp án ở cuối đề.
PHẦN I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Trắc nghiệmNhận biếtLớp 11
Câu 1. Trên đường tròn bán kính $9$ cm, cung có số đo $\frac{3 \pi}{4}$ rad có độ dài là
- A. $\frac{27 \pi}{2}$ cm
- B. $\frac{27 \pi}{4}$ cm
- C. $\frac{3 \pi}{4}$ cm
- D. $\frac{27 \pi}{8}$ cm
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: B
Lời giải: Áp dụng $\alpha\ (\text{rad})=\frac{\pi}{180}\cdot a^{\circ}$ và độ dài cung $l=R\alpha$. Đáp án: $\frac{27 \pi}{4}$ cm.
Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 08 (tự biên soạn theo ma trận)
Trắc nghiệmNhận biếtLớp 11
Câu 2. Giá trị $\tan\alpha$ xác định khi và chỉ khi
- A. $\sin\alpha\ne1$
- B. $\cos\alpha\ne0$
- C. $\sin\alpha\ne0$
- D. $\cos\alpha\ne1$
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: B
Lời giải: Dựa vào định nghĩa giá trị lượng giác trên đường tròn lượng giác và dấu của các giá trị lượng giác. Đáp án: $\cos\alpha\ne0$.
Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 08 (tự biên soạn theo ma trận)
Trắc nghiệmNhận biếtLớp 11
Câu 3. Với mọi góc $\alpha$ làm biểu thức có nghĩa, ta có $\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$ bằng
- A. $-\cos\alpha$
- B. $-\sin\alpha$
- C. $\cos\alpha$
- D. $\sin\alpha$
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: C
Lời giải: Áp dụng công thức giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt (đối nhau, bù nhau, phụ nhau, hơn kém π). Đáp án: $\cos\alpha$.
Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 08 (tự biên soạn theo ma trận)
Trắc nghiệmNhận biếtLớp 11
Câu 4. Với mọi số thực $a,b$ làm các biểu thức có nghĩa, ta có $\cos(a+b)$ bằng
- A. $\sin a\sin b-\cos a\cos b$
- B. $\sin a\cos b+\cos a\sin b$
- C. $\cos a\cos b+\sin a\sin b$
- D. $\cos a\cos b-\sin a\sin b$
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: D
Lời giải: Theo công thức cộng / công thức nhân đôi: $\cos a\cos b-\sin a\sin b$.
Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 08 (tự biên soạn theo ma trận)
Trắc nghiệmNhận biếtLớp 11
Câu 5. Với mọi số thực $a,b$ làm các biểu thức có nghĩa, công thức nào sau đây đúng?
- A. $\cos a-\cos b=-2\sin\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}$
- B. $\cos a-\cos b=2\sin\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}$
- C. $\cos a-\cos b=2\cos\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}$
- D. $\cos a-\cos b=2\cos\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}$
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: A
Lời giải: Theo công thức biến đổi tích thành tổng / tổng thành tích: $\cos a-\cos b=-2\sin\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}$.
Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 08 (tự biên soạn theo ma trận)
Trắc nghiệmNhận biếtLớp 11
Câu 6. Hàm số $y=\cos x$ tuần hoàn với chu kì
- A. $2\pi$
- B. $\pi$
- C. $4\pi$
- D. $\frac{\pi}{2}$
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: A
Lời giải: Dựa vào tính chất của các hàm số lượng giác (tập xác định, tập giá trị, tính chẵn lẻ, chu kì, tính đơn điệu). Đáp án: $2\pi$.
Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 08 (tự biên soạn theo ma trận)
Trắc nghiệmNhận biếtLớp 11
Câu 7. Tập giá trị của hàm số $y=\tan x$ là
- A. $[0;1]$
- B. $(-1;1)$
- C. $[-1;1]$
- D. $\R$
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: D
Lời giải: Dựa vào tính chất của các hàm số lượng giác (tập xác định, tập giá trị, tính chẵn lẻ, chu kì, tính đơn điệu). Đáp án: $\R$.
Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 08 (tự biên soạn theo ma trận)
Trắc nghiệmNhận biếtLớp 11
Câu 8. Nghiệm của phương trình $\cos x=-1$ là
- A. $x=k\pi$, $k\in\Z$
- B. $x=-\frac{\pi}{2}+k2\pi$, $k\in\Z$
- C. $x=\pi+k2\pi$, $k\in\Z$
- D. $x=k2\pi$, $k\in\Z$
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: C
Lời giải: Theo công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản: $x=\pi+k2\pi$, $k\in\Z$.
Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 08 (tự biên soạn theo ma trận)
Trắc nghiệmNhận biếtLớp 11
Câu 9. Phương trình $\sin x=\sin\alpha$ có nghiệm là
- A. $x=\alpha+k\pi$, $k\in\Z$
- B. $x=\alpha+k2\pi$ hoặc $x=\pi-\alpha+k2\pi$, $k\in\Z$
- C. $x=\pm\alpha+k2\pi$, $k\in\Z$
- D. $x=\pi-\alpha+k2\pi$, $k\in\Z$
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: B
Lời giải: Theo công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản: $x=\alpha+k2\pi$ hoặc $x=\pi-\alpha+k2\pi$, $k\in\Z$.
Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 08 (tự biên soạn theo ma trận)
Trắc nghiệmNhận biếtLớp 11
Câu 10. Phương trình $\cos x=\cos\alpha$ có nghiệm là
- A. $x=\alpha+k2\pi$ hoặc $x=\pi-\alpha+k2\pi$, $k\in\Z$
- B. $x=\alpha+k\pi$, $k\in\Z$
- C. $x=\pm\alpha+k2\pi$, $k\in\Z$
- D. $x=\pm\alpha+k\pi$, $k\in\Z$
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: C
Lời giải: Theo công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản: $x=\pm\alpha+k2\pi$, $k\in\Z$.
Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 08 (tự biên soạn theo ma trận)
PHẦN II. Trắc nghiệm đúng sai
Đúng/SaiThông hiểuLớp 11
Câu 11. Cho $\sin\alpha=- \frac{12}{13}$ với $\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}$.
- a) $\cos\alpha<0$.
- b) $\cos(-\alpha)=\frac{5}{13}$.
- c) $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$.
- d) $\sin2\alpha=\frac{120}{169}$.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: a) Đúng · b) Sai · c) Đúng · d) Đúng
Lời giải: a) Đúng. $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ III nên $\cos\alpha<0$.
b) Sai. $\cos(-\alpha)=\cos\alpha=- \frac{5}{13}$.
c) Đúng. Công thức nhân đôi.
d) Đúng. $\cos\alpha=- \frac{5}{13}$ nên $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{120}{169}$.
b) Sai. $\cos(-\alpha)=\cos\alpha=- \frac{5}{13}$.
c) Đúng. Công thức nhân đôi.
d) Đúng. $\cos\alpha=- \frac{5}{13}$ nên $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{120}{169}$.
Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 08 (tự biên soạn theo ma trận)
Đúng/SaiThông hiểuLớp 11
Câu 12. Cho hàm số $f(x)=\cos x$.
- a) Tập giá trị của hàm số $f(x)$ là $[-1;1]$.
- b) Tập xác định của hàm số $f(x)$ là $D=\R\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\Z\right\}$.
- c) $f\left(\frac{3 \pi}{4}\right)=- \frac{\sqrt{2}}{2}$.
- d) Phương trình $2f(x)+\sqrt{2}=0$ có đúng $1$ nghiệm thuộc đoạn $[0;2\pi]$.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: a) Đúng · b) Sai · c) Đúng · d) Sai
Lời giải: a) Đúng. Tập giá trị của hàm số $y=\cos x$ là $[-1;1]$.
b) Sai. $\cos x$ xác định với mọi $x\in\R$.
c) Đúng. $f\left(\frac{3 \pi}{4}\right)=\cos\frac{3 \pi}{4}=- \frac{\sqrt{2}}{2}$.
d) Sai. Phương trình ⇔ $\cos x=- \frac{\sqrt{2}}{2}$; trên đoạn $[0;2\pi]$ có $2$ nghiệm: $\frac{3 \pi}{4};\,\frac{5 \pi}{4}$.
b) Sai. $\cos x$ xác định với mọi $x\in\R$.
c) Đúng. $f\left(\frac{3 \pi}{4}\right)=\cos\frac{3 \pi}{4}=- \frac{\sqrt{2}}{2}$.
d) Sai. Phương trình ⇔ $\cos x=- \frac{\sqrt{2}}{2}$; trên đoạn $[0;2\pi]$ có $2$ nghiệm: $\frac{3 \pi}{4};\,\frac{5 \pi}{4}$.
Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 08 (tự biên soạn theo ma trận)
PHẦN III. Trả lời ngắn
Trả lời ngắnThông hiểuLớp 11
Câu 13. Cho $\sin a=\frac{3}{5}$, $\cos b=\frac{12}{13}$ với $0<a<\frac{\pi}{2}$, $0<b<\frac{\pi}{2}$. Tính $\sin(a-b)$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
✍️ Câu trả lời ngắn: học sinh điền đáp số (tối đa 4 ký tự, dùng dấu phẩy thập phân).
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: 0,25
Lời giải: $\cos a=\frac{4}{5}$, $\sin b=\frac{5}{13}$. Áp dụng công thức cộng: $\sin(a-b)=\frac{16}{65}\approx0{,}25$.
Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 08 (tự biên soạn theo ma trận)
Trả lời ngắnThông hiểuLớp 11
Câu 14. Phương trình $2\sin2x+\sqrt{3}=0$ có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn $[0;2\pi]$?
✍️ Câu trả lời ngắn: học sinh điền đáp số (tối đa 4 ký tự, dùng dấu phẩy thập phân).
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: 4
Lời giải: Phương trình ⇔ $\sin2x=- \frac{\sqrt{3}}{2}$. Các nghiệm thuộc đoạn $[0;2\pi]$ là: $\frac{2 \pi}{3};\,\frac{5 \pi}{6};\,\frac{5 \pi}{3};\,\frac{11 \pi}{6}$. Vậy có $4$ nghiệm.
Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 08 (tự biên soạn theo ma trận)
Trả lời ngắnVận dụngLớp 11
Câu 15. Một guồng nước có dạng hình tròn bán kính $2{,}5$ m, tâm guồng cách mặt nước $2$ m. Một chiếc gầu gắn trên vành guồng, ban đầu ở vị trí thấp nhất. Khi guồng quay được một góc $315^{\circ}$ thì chiếc gầu ở độ cao bao nhiêu mét so với mặt nước (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
✍️ Câu trả lời ngắn: học sinh điền đáp số (tối đa 4 ký tự, dùng dấu phẩy thập phân).
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: 0,2
Lời giải: Góc giữa bán kính chứa gầu và tia hướng thẳng xuống là $315^{\circ}$ nên $h=2-2{,}5\cos315^{\circ}=2 - \frac{5 \sqrt{2}}{4}\approx0{,}2$ (m).
Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 08 (tự biên soạn theo ma trận)
Trả lời ngắnVận dụngLớp 11
Câu 16. Nhiệt độ ngoài trời ở một thành phố được mô phỏng bởi công thức $h(t)=28+2\sin\frac{\pi(t-8)}{12}$ ($^{\circ}$C), với $t$ là thời gian tính bằng giờ. Tính từ thời điểm $t=8$, sau ít nhất bao nhiêu giờ thì nhiệt độ đạt $26$ $^{\circ}$C?
✍️ Câu trả lời ngắn: học sinh điền đáp số (tối đa 4 ký tự, dùng dấu phẩy thập phân).
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: 18
Lời giải: $h(t)=26$ ⇔ $\sin\frac{\pi(t-8)}{12}=-1$. Nghiệm $t>8$ nhỏ nhất là $t=26$, tức là sau $18$ giờ.
Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 08 (tự biên soạn theo ma trận)
PHẦN IV. Tự luận
Tự luậnThông hiểuLớp 11
Câu 17. Giải các phương trình sau:
a) $2\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+\sqrt{3}=0$;
b) $\sqrt{3}\cot\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)+1=0$.
a) $2\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+\sqrt{3}=0$;
b) $\sqrt{3}\cot\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)+1=0$.
📝 Câu tự luận (1,5 điểm): học sinh trình bày lời giải; chấm theo thang điểm trong lời giải.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: Tự luận (1,5 điểm) – xem lời giải và thang điểm
Lời giải: a) $2\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+\sqrt{3}=0$ ⇔ $\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=- \frac{\sqrt{3}}{2}=\cos\frac{5 \pi}{6}$ (0,25 điểm)
⇔ $x-\frac{\pi}{4}=\pm\frac{5 \pi}{6}+k2\pi$ ⇔ $x=\frac{13 \pi}{12}+k2\pi$ hoặc $x=- \frac{7 \pi}{12}+k2\pi$, $k\in\Z$. (0,5 điểm)
b) $\sqrt{3}\cot\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)+1=0$ ⇔ $\cot\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)=- \frac{\sqrt{3}}{3}=\cot\left(- \frac{\pi}{3}\right)$ (0,25 điểm)
⇔ $2x-\frac{\pi}{6}=- \frac{\pi}{3}+k\pi$ ⇔ $x=- \frac{\pi}{12}+k\frac{\pi}{2}$, $k\in\Z$. (0,5 điểm)
⇔ $x-\frac{\pi}{4}=\pm\frac{5 \pi}{6}+k2\pi$ ⇔ $x=\frac{13 \pi}{12}+k2\pi$ hoặc $x=- \frac{7 \pi}{12}+k2\pi$, $k\in\Z$. (0,5 điểm)
b) $\sqrt{3}\cot\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)+1=0$ ⇔ $\cot\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)=- \frac{\sqrt{3}}{3}=\cot\left(- \frac{\pi}{3}\right)$ (0,25 điểm)
⇔ $2x-\frac{\pi}{6}=- \frac{\pi}{3}+k\pi$ ⇔ $x=- \frac{\pi}{12}+k\frac{\pi}{2}$, $k\in\Z$. (0,5 điểm)
Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 08 (tự biên soạn theo ma trận)
Tự luậnVận dụngLớp 11
Câu 18. Giải phương trình $\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=\cos\left(3x+\frac{\pi}{6}\right)$.
📝 Câu tự luận (1 điểm): học sinh trình bày lời giải; chấm theo thang điểm trong lời giải.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: Tự luận (1 điểm) – xem lời giải và thang điểm
Lời giải: $\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=\cos\left(3x+\frac{\pi}{6}\right)$ ⇔ $\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\left(3x+\frac{\pi}{6}\right)\right)$ ⇔ $2x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}-\left(3x+\frac{\pi}{6}\right)+k2\pi$ hoặc $2x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+3x+\frac{\pi}{6}+k2\pi$ (0,25 điểm)
⇔ $x=\frac{\pi}{30}+k\frac{2\pi}{5}$ hoặc $x=- \frac{\pi}{2}+k2\pi$, $k\in\Z$. (0,75 điểm)
⇔ $x=\frac{\pi}{30}+k\frac{2\pi}{5}$ hoặc $x=- \frac{\pi}{2}+k2\pi$, $k\in\Z$. (0,75 điểm)
Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 08 (tự biên soạn theo ma trận)
Tự luậnVận dụngLớp 11
Câu 19. Một vật dao động điều hòa có li độ $x(t)=6\sin\pi t$ (cm), trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây. Trong khoảng thời gian $0\le t\le2$, tìm các thời điểm vật có li độ $x=3$ cm.
📝 Câu tự luận (1 điểm): học sinh trình bày lời giải; chấm theo thang điểm trong lời giải.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: Tự luận (1 điểm) – xem lời giải và thang điểm
Lời giải: $6\sin\pi t=3$ ⇔ $\sin\pi t=\frac{1}{2}$ ⇔ $t=\frac{1}{6}+2k$ hoặc $t=\frac{5}{6}+2k$, $k\in\Z$. (0,25 điểm)
Với $0\le t\le2$: $t\in\left\{\frac{1}{6};\,\frac{5}{6}\right\}$ (giây). (0,75 điểm)
Với $0\le t\le2$: $t\in\left\{\frac{1}{6};\,\frac{5}{6}\right\}$ (giây). (0,75 điểm)
Nguồn: Toán 11 – Cuối chương I – Đề 08 (tự biên soạn theo ma trận)
Bảng đáp án
| Câu | Đáp án |
|---|---|
| 1 | B |
| 2 | B |
| 3 | C |
| 4 | D |
| 5 | A |
| 6 | A |
| 7 | D |
| 8 | C |
| 9 | B |
| 10 | C |
| 11 | a) Đúng · b) Sai · c) Đúng · d) Đúng |
| 12 | a) Đúng · b) Sai · c) Đúng · d) Sai |
| 13 | 0,25 |
| 14 | 4 |
| 15 | 0,2 |
| 16 | 18 |