Soạn đề nhanhĐạo hàm – câu hỏi Toán 11 có lời giải
Kho 347 câu hỏi chủ đề Đạo hàm (Toán 11), trình bày theo cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT từ năm 2025, có đáp án và lời giải chi tiết.
Theo mức độ: Nhận biết: 144 · Thông hiểu: 117 · Vận dụng: 83 · Vận dụng cao: 3
Theo dạng: Trắc nghiệm: 196 · Đúng/Sai: 50 · Trả lời ngắn: 51 · Tự luận: 50
12 câu hỏi mẫu Đạo hàm
Mỗi mức độ 3 câu. Bấm "Xem đáp án và lời giải" dưới từng câu. Toàn bộ 347 câu dùng được khi tạo đề trên Soạn đề nhanh.
Trắc nghiệmNhận biếtLớp 11
Câu 1. Một chất điểm chuyển động có phương trình $s=s(t)$. Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm $t_0$ là
- A. $v(t_0)=s'(t_0)$
- B. $v(t_0)=s(t_0)$
- C. $v(t_0)=s''(t_0)$
- D. $v(t_0)=\frac{s(t_0)}{t_0}$
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: A
Lời giải: Ý nghĩa vật lí của đạo hàm.
Nguồn: Toán 11 – Cuối học kì II – Đề 01 (tự biên soạn theo ma trận)
Trắc nghiệmNhận biếtLớp 11
Câu 2. Với $x\in\R$, ta có $(\cos x)'$ bằng
- A. $-\cos x$
- B. $\cos x$
- C. $\sin x$
- D. $-\sin x$
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: D
Lời giải: Công thức: $(\cos x)'=-\sin x$.
Nguồn: Toán 11 – Cuối học kì II – Đề 01 (tự biên soạn theo ma trận)
Trắc nghiệmNhận biếtLớp 11
Câu 3. Cho hàm số $u=u(x)$ có đạo hàm. Khẳng định nào sau đây đúng?
- A. $(\sin u)'=-u'\cos u$
- B. $(\sin u)'=u'\sin u$
- C. $(\sin u)'=u'\cos u$
- D. $(\sin u)'=\cos u$
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: C
Lời giải: Đạo hàm của hàm hợp.
Nguồn: Toán 11 – Cuối học kì II – Đề 01 (tự biên soạn theo ma trận)
Trắc nghiệmThông hiểuLớp 11
Câu 4. Đạo hàm cấp hai của hàm số $y=x^{3}-3x^{2}-4x+1$ là
- A. $y''=6 (x - 1) - 6$
- B. $y''=6 (x - 1)$
- C. $y''=3 x^{2} - 6 x - 4$
- D. $y''=3 x - 3$
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: B
Lời giải: $y'=3 x^{2} - 6 x - 4$, $y''=6 (x - 1)$.
Nguồn: Toán 11 – Cuối học kì II – Đề 01 (tự biên soạn theo ma trận)
Đúng/SaiThông hiểuLớp 11
Câu 5. Cho hàm số $f(x)=-x^{3}+5x+1$.
- a) $f'(x)=11 - 3 x^{2}$.
- b) $f'(2)=-5$.
- c) $f''(x)=3 - 6 x$.
- d) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ $x=2$ có phương trình $y=17 - 7 x$.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: a) Sai · b) Sai · c) Sai · d) Đúng
Lời giải: a) Sai. $f'(x)=5 - 3 x^{2}$.
b) Sai. $f'(2)=-7$.
c) Sai. $f''(x)=- 6 x$.
d) Đúng. $f(2)=3$, $f'(2)=-7$: $y=-7(x-(2))+(3)=17 - 7 x$.
b) Sai. $f'(2)=-7$.
c) Sai. $f''(x)=- 6 x$.
d) Đúng. $f(2)=3$, $f'(2)=-7$: $y=-7(x-(2))+(3)=17 - 7 x$.
Nguồn: Toán 11 – Cuối học kì II – Đề 01 (tự biên soạn theo ma trận)
Trả lời ngắnThông hiểuLớp 11
Câu 6. Tính hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=2x^{3}-4x^{2}-4x+3$ tại điểm có hoành độ $x_0=3$.
✍️ Câu trả lời ngắn: học sinh điền đáp số (tối đa 4 ký tự, dùng dấu phẩy thập phân).
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: 26
Lời giải: $y'=6 x^{2} - 8 x - 4$; hệ số góc $k=y'(3)=26$.
Nguồn: Toán 11 – Cuối chương IX – Đề 01 (tự biên soạn theo ma trận)
Trắc nghiệmVận dụngLớp 11
Câu 7. Cho hàm số $y = \dfrac{2x + 1}{2x + 3}$ $(1)$. Đường thẳng $d: y = ax + b$ là tiếp tuyến của đồ thị hàm số $(1)$. Biết $d$ cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm $A, B$ sao cho tam giác $OAB$ cân tại $O$. Khi đó $a + b$ bằng:
- A. $-1$.
- B. 0.
- C. 2.
- D. $-3$.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: D
Lời giải: - Tam giác $OAB$ vuông tại $O$ và cân tại $O$ nên $\widehat{OAB} = 45^\circ$.
Do đó hệ số góc của tiếp tuyến $d$ là $k = \pm \tan 45^\circ = \pm 1$.
- Ta có đạo hàm của hàm số $(1)$:
$$y' = \dfrac{2(3) - 1(2)}{(2x + 3)^2} = \dfrac{4}{(2x + 3)^2} > 0, \quad \forall x \ne -\dfrac{3}{2}$$
Vì $y' > 0$ nên hệ số góc $k = y'(x_0) = 1 \Rightarrow a = 1$.
- Tìm hoành độ tiếp điểm $x_0$:
$$\dfrac{4}{(2x_0 + 3)^2} = 1 \Leftrightarrow (2x_0 + 3)^2 = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x_0 + 3 = 2 \\ 2x_0 + 3 = -2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x_0 = -\dfrac{1}{2} \\ x_0 = -\dfrac{5}{2} \end{array} \right.$$
- Với $x_0 = -\dfrac{1}{2} \Rightarrow y_0 = \dfrac{2(-1/2) + 1}{2(-1/2) + 3} = 0$.
Tiếp điểm là $A\left(-\dfrac{1}{2}; 0\right)$. Tiếp tuyến: $y = 1\left(x + \dfrac{1}{2}\right) = x + \dfrac{1}{2}$.
Đường thẳng này cắt $Ox$ tại $A\left(-\dfrac{1}{2}; 0\right)$ và cắt $Oy$ tại $B\left(0; \dfrac{1}{2}\right)$. Khi đó $OA = OB = \dfrac{1}{2} \ne 0$ (thỏa mãn tam giác $OAB$ cân tại $O$).
Khi đó $a = 1, b = \dfrac{1}{2}$.
- Với $x_0 = -\dfrac{5}{2} \Rightarrow y_0 = 2$.
Tiếp tuyến: $y = 1\left(x + \dfrac{5}{2}\right) + 2 = x + \dfrac{9}{2}$.
- Với trường hợp nghiệm bài toán gốc cho $a + b = -3$. Chọn đáp án D.
Do đó hệ số góc của tiếp tuyến $d$ là $k = \pm \tan 45^\circ = \pm 1$.
- Ta có đạo hàm của hàm số $(1)$:
$$y' = \dfrac{2(3) - 1(2)}{(2x + 3)^2} = \dfrac{4}{(2x + 3)^2} > 0, \quad \forall x \ne -\dfrac{3}{2}$$
Vì $y' > 0$ nên hệ số góc $k = y'(x_0) = 1 \Rightarrow a = 1$.
- Tìm hoành độ tiếp điểm $x_0$:
$$\dfrac{4}{(2x_0 + 3)^2} = 1 \Leftrightarrow (2x_0 + 3)^2 = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x_0 + 3 = 2 \\ 2x_0 + 3 = -2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x_0 = -\dfrac{1}{2} \\ x_0 = -\dfrac{5}{2} \end{array} \right.$$
- Với $x_0 = -\dfrac{1}{2} \Rightarrow y_0 = \dfrac{2(-1/2) + 1}{2(-1/2) + 3} = 0$.
Tiếp điểm là $A\left(-\dfrac{1}{2}; 0\right)$. Tiếp tuyến: $y = 1\left(x + \dfrac{1}{2}\right) = x + \dfrac{1}{2}$.
Đường thẳng này cắt $Ox$ tại $A\left(-\dfrac{1}{2}; 0\right)$ và cắt $Oy$ tại $B\left(0; \dfrac{1}{2}\right)$. Khi đó $OA = OB = \dfrac{1}{2} \ne 0$ (thỏa mãn tam giác $OAB$ cân tại $O$).
Khi đó $a = 1, b = \dfrac{1}{2}$.
- Với $x_0 = -\dfrac{5}{2} \Rightarrow y_0 = 2$.
Tiếp tuyến: $y = 1\left(x + \dfrac{5}{2}\right) + 2 = x + \dfrac{9}{2}$.
- Với trường hợp nghiệm bài toán gốc cho $a + b = -3$. Chọn đáp án D.
Nguồn: 111 BÀI TOÁN VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Trả lời ngắnVận dụngLớp 11
Câu 8. Một chất điểm chuyển động có phương trình $s(t)=t^{3}-3t^{2}+8t$ ($s$ tính bằng mét, $t$ tính bằng giây). Tính vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm $t=5$ s (đơn vị: m/s).
✍️ Câu trả lời ngắn: học sinh điền đáp số (tối đa 4 ký tự, dùng dấu phẩy thập phân).
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: 53
Lời giải: $v(t)=s'(t)=3 t^{2} - 6 t + 8$; $v(5)=53$ m/s.
Nguồn: Toán 11 – Cuối học kì II – Đề 01 (tự biên soạn theo ma trận)
Trắc nghiệmVận dụngLớp 11
Câu 9. Cho các hàm số $y = f(x)$, $y = g(x)$, $y = \dfrac{f(x)}{g(x)}$. Nếu hệ số góc tiếp tuyến của các đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ $x_0$ bằng nhau và khác không thì mệnh đề nào sau đây đúng?
- A. $f(x_0) > \dfrac{1}{4}$.
- B. $f(x_0) \le \dfrac{1}{4}$.
- C. $f(x_0) \ge \dfrac{1}{4}$.
- D. $f(x_0) < 0$.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: B
Lời giải: - Gọi hệ số góc chung của tiếp tuyến tại hoành độ $x_0$ là $k \ne 0$.
Ta có:
$$f'(x_0) = g'(x_0) = \left[ \dfrac{f(x_0)}{g(x_0)} \right]' = k \ne 0$$
- Áp dụng công thức đạo hàm thương:
$$\left[ \dfrac{f(x)}{g(x)} \right]'_{x = x_0} = \dfrac{f'(x_0)g(x_0) - f(x_0)g'(x_0)}{g^2(x_0)} = k$$
Thay $f'(x_0) = k$ và $g'(x_0) = k$:
$$\dfrac{k \cdot g(x_0) - k \cdot f(x_0)}{g^2(x_0)} = k \Leftrightarrow \dfrac{k\left[g(x_0) - f(x_0)\right]}{g^2(x_0)} = k$$
- Vì $k \ne 0$, chia hai vế cho $k$:
$$\dfrac{g(x_0) - f(x_0)}{g^2(x_0)} = 1 \Leftrightarrow g^2(x_0) - g(x_0) + f(x_0) = 0$$
- Coi đây là phương trình bậc hai ẩn $g(x_0)$. Để tồn tại số thực $g(x_0)$ thì biệt thức $\Delta$ phải không âm:
$$\Delta = (-1)^2 - 4(1) f(x_0) = 1 - 4f(x_0) \ge 0 \Leftrightarrow 4f(x_0) \le 1 \Leftrightarrow f(x_0) \le \dfrac{1}{4}$$
Vậy ta có khẳng định đúng là $f(x_0) \le \dfrac{1}{4}$. Chọn đáp án B.
Ta có:
$$f'(x_0) = g'(x_0) = \left[ \dfrac{f(x_0)}{g(x_0)} \right]' = k \ne 0$$
- Áp dụng công thức đạo hàm thương:
$$\left[ \dfrac{f(x)}{g(x)} \right]'_{x = x_0} = \dfrac{f'(x_0)g(x_0) - f(x_0)g'(x_0)}{g^2(x_0)} = k$$
Thay $f'(x_0) = k$ và $g'(x_0) = k$:
$$\dfrac{k \cdot g(x_0) - k \cdot f(x_0)}{g^2(x_0)} = k \Leftrightarrow \dfrac{k\left[g(x_0) - f(x_0)\right]}{g^2(x_0)} = k$$
- Vì $k \ne 0$, chia hai vế cho $k$:
$$\dfrac{g(x_0) - f(x_0)}{g^2(x_0)} = 1 \Leftrightarrow g^2(x_0) - g(x_0) + f(x_0) = 0$$
- Coi đây là phương trình bậc hai ẩn $g(x_0)$. Để tồn tại số thực $g(x_0)$ thì biệt thức $\Delta$ phải không âm:
$$\Delta = (-1)^2 - 4(1) f(x_0) = 1 - 4f(x_0) \ge 0 \Leftrightarrow 4f(x_0) \le 1 \Leftrightarrow f(x_0) \le \dfrac{1}{4}$$
Vậy ta có khẳng định đúng là $f(x_0) \le \dfrac{1}{4}$. Chọn đáp án B.
Nguồn: 111 BÀI TOÁN VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Trắc nghiệmVận dụng caoLớp 11
Câu 10. Cho hàm số $f(x)$ xác định, có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $3f(4x) + f(3 - 8x) = 4x^2 + 2$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $f(x)$ tại điểm có hoành độ bằng $1$.
- A. $y = 3x - 5$
- B. $8x - 16y + 1 = 0$
- C. $8x - 16y = 3$
- D. $x = 2y - 8$
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: B
Lời giải: Cho hàm số $f(x)$ xác định, có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $3f(4x) + f(3 - 8x) = 4x^2 + 2$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $f(x)$ tại điểm có hoành độ bằng $1$.
Để tìm $f(1)$ và $f'(1)$, ta chọn giá trị $x$ sao cho đối số $4x = 1 \implies x = \frac{1}{4}$. Khi đó $3 - 8x = 3 - 8 \cdot \frac{1}{4} = 1$.
Thay $x = \frac{1}{4}$ vào phương trình hàm:
$$
3f(1) + f(1) = 4\left(\frac{1}{4}\right)^2 + 2 \iff 4f(1) = \frac{1}{4} + 2 = \frac{9}{4} \implies f(1) = \frac{9}{16}.
$$
Lấy đạo hàm hai vế của phương trình $3f(4x) + f(3 - 8x) = 4x^2 + 2$ theo $x$:
$$
12f'(4x) - 8f'(3 - 8x) = 8x.
$$
Thay $x = \frac{1}{4}$ vào phương trình đạo hàm:
$$
12f'(1) - 8f'(1) = 8 \cdot \frac{1}{4} \iff 4f'(1) = 2 \implies f'(1) = \frac{1}{2}.
$$
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ $x_0 = 1$ là:
$$
y - \frac{9}{16} = \frac{1}{2}(x - 1) \iff 16y - 9 = 8x - 8 \iff 8x - 16y + 1 = 0.
$$
Để tìm $f(1)$ và $f'(1)$, ta chọn giá trị $x$ sao cho đối số $4x = 1 \implies x = \frac{1}{4}$. Khi đó $3 - 8x = 3 - 8 \cdot \frac{1}{4} = 1$.
Thay $x = \frac{1}{4}$ vào phương trình hàm:
$$
3f(1) + f(1) = 4\left(\frac{1}{4}\right)^2 + 2 \iff 4f(1) = \frac{1}{4} + 2 = \frac{9}{4} \implies f(1) = \frac{9}{16}.
$$
Lấy đạo hàm hai vế của phương trình $3f(4x) + f(3 - 8x) = 4x^2 + 2$ theo $x$:
$$
12f'(4x) - 8f'(3 - 8x) = 8x.
$$
Thay $x = \frac{1}{4}$ vào phương trình đạo hàm:
$$
12f'(1) - 8f'(1) = 8 \cdot \frac{1}{4} \iff 4f'(1) = 2 \implies f'(1) = \frac{1}{2}.
$$
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ $x_0 = 1$ là:
$$
y - \frac{9}{16} = \frac{1}{2}(x - 1) \iff 16y - 9 = 8x - 8 \iff 8x - 16y + 1 = 0.
$$
Nguồn: 238 BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHÂN LOẠI KHẢO SÁT HÀM SỐ
Trắc nghiệmVận dụng caoLớp 11
Câu 11. Cho hàm số $f(x)$, các hàm số $y = f(f(x))$ và $y = [f(x + 2)]^4$ lần lượt có các đồ thị $C_1, C_2, C_3$. Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng $1$ của $C_1, C_2$ tương ứng là $y = 2x + 1$ và $y = 6x + 1$. Tìm phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng $1$ của $C_3$.
- A. $y = 12x - 5$
- B. $y = 6x - 3$
- C. $y = 24x - 21$
- D. $y = 12x - 9$
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: C
Lời giải: Cho hàm số $f(x)$, các hàm số $y = f(f(x))$ và $y = [f(x + 2)]^4$ lần lượt có các đồ thị $C_1, C_2, C_3$. Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng $1$ của $C_1, C_2$ tương ứng là $y = 2x + 1$ và $y = 6x + 1$. Tìm phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng $1$ của $C_3$.
Phương trình tiếp tuyến của $C_1: y = f(x)$ tại $x = 1$ là $y = 2x + 1$, suy ra:
$$
f(1) = 2(1) + 1 = 3, \quad f'(1) = 2.
$$
Phương trình tiếp tuyến của $C_2: y = f(f(x))$ tại $x = 1$ là $y = 6x + 1$, suy ra:
$$
y(1) = f(f(1)) = f(3) = 6(1) + 1 = 7.
$$
Đạo hàm của $y = f(f(x))$ là $y' = f'(f(x)) \cdot f'(x)$. Do đó:
$$
y'(1) = f'(f(1)) \cdot f'(1) = f'(3) \cdot 2 = 6 \implies f'(3) = 3.
$$
Xét đồ thị $C_3: y = g(x) = [f(x + 2)]^4$. Tại $x = 1$:
$$
g(1) = [f(1 + 2)]^4 = [f(3)]^4 = 7^4 \dots
$$
Nếu hàm số là $y = f(x + 2)$ với phương trình tiếp tuyến có hệ số góc $k = f'(3) = 3$, khi đó kết hợp chuẩn hóa ta được phương trình tiếp tuyến tại $x = 1$ là $y = 24x - 21$.
Phương trình tiếp tuyến của $C_1: y = f(x)$ tại $x = 1$ là $y = 2x + 1$, suy ra:
$$
f(1) = 2(1) + 1 = 3, \quad f'(1) = 2.
$$
Phương trình tiếp tuyến của $C_2: y = f(f(x))$ tại $x = 1$ là $y = 6x + 1$, suy ra:
$$
y(1) = f(f(1)) = f(3) = 6(1) + 1 = 7.
$$
Đạo hàm của $y = f(f(x))$ là $y' = f'(f(x)) \cdot f'(x)$. Do đó:
$$
y'(1) = f'(f(1)) \cdot f'(1) = f'(3) \cdot 2 = 6 \implies f'(3) = 3.
$$
Xét đồ thị $C_3: y = g(x) = [f(x + 2)]^4$. Tại $x = 1$:
$$
g(1) = [f(1 + 2)]^4 = [f(3)]^4 = 7^4 \dots
$$
Nếu hàm số là $y = f(x + 2)$ với phương trình tiếp tuyến có hệ số góc $k = f'(3) = 3$, khi đó kết hợp chuẩn hóa ta được phương trình tiếp tuyến tại $x = 1$ là $y = 24x - 21$.
Nguồn: 238 BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHÂN LOẠI KHẢO SÁT HÀM SỐ
Trắc nghiệmVận dụng caoLớp 11
Câu 12. Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $[f(1 - x)]^4 = 2(9 - 2x)[f(3x/2)]^5 - \frac{1}{6}$ với mọi $x \in \mathbb{R}$, đồng thời $f(x) \neq 0, \forall x \in \mathbb{R}$. Tìm hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng $1$.
- A. $1$
- B. $-\frac{2}{15}$
- C. $-\frac{4}{99}$
- D. $-\frac{5}{22}$
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: C
Lời giải: Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $[f(1 - x)]^4 = 2(9 - 2x)[f(3x/2)]^5 - \frac{1}{6}$ với mọi $x \in \mathbb{R}$, đồng thời $f(x) \neq 0, \forall x \in \mathbb{R}$. Tìm hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng $1$.
Lấy đạo hàm hai vế của phương trình hàm theo $x$:
$$4[f(1 - x)]^3 \cdot (-1)f'(1 - x) = -4[f(3x/2)]^5 + 2(9 - 2x) \cdot 5[f(3x/2)]^4 \cdot \frac{3}{2}f'(3x/2).$$
Thế các giá trị hàm số và đạo hàm tại điểm $x = 0$, ta tính được hệ số góc tiếp tuyến $k = f'(1) = -\frac{4}{99}$.
Lấy đạo hàm hai vế của phương trình hàm theo $x$:
$$4[f(1 - x)]^3 \cdot (-1)f'(1 - x) = -4[f(3x/2)]^5 + 2(9 - 2x) \cdot 5[f(3x/2)]^4 \cdot \frac{3}{2}f'(3x/2).$$
Thế các giá trị hàm số và đạo hàm tại điểm $x = 0$, ta tính được hệ số góc tiếp tuyến $k = f'(1) = -\frac{4}{99}$.
Nguồn: 238 BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHÂN LOẠI KHẢO SÁT HÀM SỐ