Soạn đề nhanhTrang chủ › Chủ đề › Ứng dụng đạo hàm
Ứng dụng đạo hàm – câu hỏi Toán 12 có lời giải
Kho 1219 câu hỏi chủ đề Ứng dụng đạo hàm (Toán 12), trình bày theo cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT từ năm 2025, có đáp án và lời giải chi tiết.
Theo mức độ: Nhận biết: 359 · Thông hiểu: 316 · Vận dụng: 448 · Vận dụng cao: 96
Theo dạng: Trắc nghiệm: 1048 · Đúng/Sai: 76 · Trả lời ngắn: 95
12 câu hỏi mẫu Ứng dụng đạo hàm
Mỗi mức độ 3 câu. Bấm "Xem đáp án và lời giải" dưới từng câu. Toàn bộ 1219 câu dùng được khi tạo đề trên Soạn đề nhanh.
Trắc nghiệmNhận biếtLớp 12
Câu 1. Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ:
Điểm cực đại của đồ thị hàm số là
Điểm cực đại của đồ thị hàm số là
- A. x = -1.
- B. y = 4.
- C. (-1; 4).
- D. x = 1.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: C
Nguồn: Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2025 môn Toán - THPT Nguyễn Viết Xuân - Vĩnh Phúc - Lần 1
Trắc nghiệmNhận biếtLớp 12
Câu 2. Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ:
Khẳng định nào sau đây sai?
| x | -∞ | -1 | 2 | +∞ |
| y' | - | || + | 0 - | |
| y | 5 | -2 | 4 | -1 |
Khẳng định nào sau đây sai?
- A. Hàm số không có giá trị lớn nhất và có giá trị nhỏ nhất bằng -2.
- B. Hàm số có hai điểm cực trị.
- C. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang.
- D. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 5 và giá trị nhỏ nhất bằng -2.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: D
Lời giải: Hàm số không có giá trị lớn nhất do: $\lim_{x\to-\infty}f(x)=5$ và có giá trị nhỏ nhất bằng -2 tại x=-1.
Hàm số có hai điểm cực trị là $x = -1$ và $x = 2$
Ta có $\lim_{x\to-\infty}f(x)=5$ và $\lim_{x\to+\infty}f(x)=-1$ nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là y=5 và y=-1.
Hàm số có hai điểm cực trị là $x = -1$ và $x = 2$
Ta có $\lim_{x\to-\infty}f(x)=5$ và $\lim_{x\to+\infty}f(x)=-1$ nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là y=5 và y=-1.
Nguồn: Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2025 môn Toán - THPT Nguyễn Viết Xuân - Vĩnh Phúc - Lần 1
Trắc nghiệmNhận biếtLớp 12
Câu 3. Đồ thị hàm số $y = \frac{x^2 + 2x + 2}{x + 1}$ có tiệm cận xiên là đường thẳng:
- A. $y = x$.
- B. $y = x - 1$.
- C. $y = 2x - 1$.
- D. $y = x + 1$.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: D
Lời giải: Ta có: $y=\frac{x^{2}+2x+2}{x+1}=x+1+\frac{1}{x+1}$ .
$\mathrm{Ta}\text{có}\lim_{x\to \pm \infty}\left[y - (x + 1)\right] = \lim_{x\to \pm \infty}\frac{1}{x + 1} = 0.$
Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là: $y = x + 1$ .
$\mathrm{Ta}\text{có}\lim_{x\to \pm \infty}\left[y - (x + 1)\right] = \lim_{x\to \pm \infty}\frac{1}{x + 1} = 0.$
Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là: $y = x + 1$ .
Nguồn: Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2025 môn Toán - THPT Nguyễn Viết Xuân - Vĩnh Phúc - Lần 1
Trắc nghiệmThông hiểuLớp 12
Câu 4. Cho hàm số $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d(a, b, c, d \in \mathbb{R})$ có bảng biến thiên như sau:
Có bao nhiêu số dương trong các số $a, b, c, d$?
| x | -∞ | 0 | 4 | +∞ |
| f'(x) | + | 0 | - | 0 + |
Có bao nhiêu số dương trong các số $a, b, c, d$?
- A. 2.
- B. 4.
- C. 1.
- D. 3.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: A
Lời giải: Từ bảng biến thiên, ta có
$$
\left| f (0) = 3 \right|
$$
$$
\boxed {d = 3}
$$
$$
\boxed {a = \frac {1}{4}}
$$
$$
f (4) = - 5
$$
$$
6 4 a + 1 6 b + 4 c + d = - 5
$$
$$
f ^ {\prime} (0) = 0
$$
$$
c = 0
$$
$$
b = - \frac {3}{2}
$$
$$
f ^ {\prime} (4) = 0
$$
$$
4 8 a + 8 b + c = 0
$$
$$
c = 0
$$
$$
d = 3
$$
Vậy trong các số $a, b, c, d$ có 2 số dương.
$$
\left| f (0) = 3 \right|
$$
$$
\boxed {d = 3}
$$
$$
\boxed {a = \frac {1}{4}}
$$
$$
f (4) = - 5
$$
$$
6 4 a + 1 6 b + 4 c + d = - 5
$$
$$
f ^ {\prime} (0) = 0
$$
$$
c = 0
$$
$$
b = - \frac {3}{2}
$$
$$
f ^ {\prime} (4) = 0
$$
$$
4 8 a + 8 b + c = 0
$$
$$
c = 0
$$
$$
d = 3
$$
Vậy trong các số $a, b, c, d$ có 2 số dương.
Nguồn: Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2025 môn Toán - THPT Ngô Gia Tự - Vĩnh Phúc - Lần 1 2
Đúng/SaiThông hiểuLớp 12
Câu 5. Cho hàm số $y = f(x) = \frac{ax^2 + bx + c}{dx + e}$ có bảng biến thiên sau
| x | -∞ | -1 | 1 | 3 | +∞ |
| y' | + | 0 | - | - | 0 + |
| y | -∞ | -5 | -∞ | +∞ | +∞ |
- a) Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty;-1)$ và $(3;+\infty)$ .
- b) Giá trị cực đại của hàm số là y = 3.
- c) Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số có phương trình $y = mx + n$ khi đó $m > 0$.
- d) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: a) Đúng · b) Sai · c) Đúng · d) Đúng
Lời giải: a) Đúng
Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty;-1)$ và $(3;+\infty)$ .
b) Sai
Giá trị cực đại của hàm số là y = -5.
c) Đúng
Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số có phương trình: $y = \frac{a}{d} x + \frac{bd - ae}{d^{2}}$ .
Theo bảng biến thiên ta có:
$$
\lim _ {x \to + \infty} f (x) = \lim _ {x \to + \infty} \frac {a x ^ {2} + b x + c}{d x + e} = \lim _ {x \to + \infty} x. \frac {\mathrm{a} + \frac {b}{x} + \frac {c}{x ^ {2}}}{d + \frac {e}{x}} = + \infty \Rightarrow \frac {a}{d} > 0 \Rightarrow m > 0
$$
d) Đúng
Ta có: $f(0) < -5$ nên đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm.
Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty;-1)$ và $(3;+\infty)$ .
b) Sai
Giá trị cực đại của hàm số là y = -5.
c) Đúng
Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số có phương trình: $y = \frac{a}{d} x + \frac{bd - ae}{d^{2}}$ .
Theo bảng biến thiên ta có:
$$
\lim _ {x \to + \infty} f (x) = \lim _ {x \to + \infty} \frac {a x ^ {2} + b x + c}{d x + e} = \lim _ {x \to + \infty} x. \frac {\mathrm{a} + \frac {b}{x} + \frac {c}{x ^ {2}}}{d + \frac {e}{x}} = + \infty \Rightarrow \frac {a}{d} > 0 \Rightarrow m > 0
$$
d) Đúng
Ta có: $f(0) < -5$ nên đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm.
Nguồn: Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2025 môn Toán - THPT Nguyễn Viết Xuân - Vĩnh Phúc - Lần 1
Trắc nghiệmThông hiểuLớp 12
Câu 6. Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị là đường cong trong hình dưới đây:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào?
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào?
- A. $(-\infty;0)$.
- B. $(-1;0)$.
- C. $(0;1)$.
- D. $(1;+\infty)$.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: C
Nguồn: Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2025 môn Toán - THPT Văn Giang - Hưng Yên
Trắc nghiệmVận dụngLớp 12
Câu 7. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = \dfrac{\cos x - 3}{\cos x - m}$ nghịch biến trên khoảng $\left(\dfrac{\pi}{2}; \pi\right)$.
- A. $\left[ \begin{array}{l} 0 \le m < 3 \\ m \le -1 \end{array} \right.$
- B. $\left[ \begin{array}{l} 0 < m < 3 \\ m < -1 \end{array} \right.$
- C. $m \le 3$
- D. $m < 3$
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: A
Lời giải: - Với $m = 3$, ta có $y = 1$ là hàm hằng nên $m = 3$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
- Với $m \ne 3$, đặt $t = \cos x$.
Với $x \in \left(\dfrac{\pi}{2}; \pi\right)$, ta có $-1 < t < 0$ và hàm số $t = \cos x$ là hàm nghịch biến trên $\left(\dfrac{\pi}{2}; \pi\right)$.
- Để hàm số $y = \dfrac{\cos x - 3}{\cos x - m}$ nghịch biến trên $\left(\dfrac{\pi}{2}; \pi\right)$ thì hàm số $f(t) = \dfrac{t - 3}{t - m}$ phải đồng biến trên khoảng $(-1; 0)$.
Ta có $f'(t) = \dfrac{-m + 3}{(t - m)^2} = \dfrac{3 - m}{(t - m)^2}$.
- Hàm số $f(t)$ đồng biến trên $(-1; 0)$ khi và chỉ khi:
$$\begin{cases} 3 - m > 0 \\ m \notin (-1; 0) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m < 3 \\ \left[ \begin{array}{l} m \ge 0 \\ m \le -1 \end{array} \right. \end{cases} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 0 \le m < 3 \\ m \le -1 \end{array} \right.$$
Vậy tập hợp các giá trị $m$ cần tìm là $\left[ \begin{array}{l} 0 \le m < 3 \\ m \le -1 \end{array} \right.$. Chọn đáp án A.
- Với $m \ne 3$, đặt $t = \cos x$.
Với $x \in \left(\dfrac{\pi}{2}; \pi\right)$, ta có $-1 < t < 0$ và hàm số $t = \cos x$ là hàm nghịch biến trên $\left(\dfrac{\pi}{2}; \pi\right)$.
- Để hàm số $y = \dfrac{\cos x - 3}{\cos x - m}$ nghịch biến trên $\left(\dfrac{\pi}{2}; \pi\right)$ thì hàm số $f(t) = \dfrac{t - 3}{t - m}$ phải đồng biến trên khoảng $(-1; 0)$.
Ta có $f'(t) = \dfrac{-m + 3}{(t - m)^2} = \dfrac{3 - m}{(t - m)^2}$.
- Hàm số $f(t)$ đồng biến trên $(-1; 0)$ khi và chỉ khi:
$$\begin{cases} 3 - m > 0 \\ m \notin (-1; 0) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m < 3 \\ \left[ \begin{array}{l} m \ge 0 \\ m \le -1 \end{array} \right. \end{cases} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 0 \le m < 3 \\ m \le -1 \end{array} \right.$$
Vậy tập hợp các giá trị $m$ cần tìm là $\left[ \begin{array}{l} 0 \le m < 3 \\ m \le -1 \end{array} \right.$. Chọn đáp án A.
Nguồn: 111 BÀI TOÁN VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Trả lời ngắnVận dụngLớp 12
Câu 8. Một doanh nghiệp tư nhân A chuyên kinh doanh xe gắn máy các loại. Hiện nay doanh nghiệp đang tập trung vào chiến lược kinh doanh xe X với chi phí mua vào một chiếc là 27 triệu đồng và bán ra với giá 31 triệu đồng. Với giá bán này, số lượng xe mà khách hàng đã mua trong một năm là 600 chiếc. Nhầm mục tiêu đầy mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe đang bán chạy này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán. Bộ phận nghiên cứu thị trường ước tính rằng nếu giảm 1 triệu đồng mỗi chiếc xe thì số lượng xe bán ra trong một năm sẽ tăng thêm 200 chiếc. Hồi theo đó, giá bán mới là bao nhiêu triệu đồng thì lợi nhuận thu được cao nhất?
✍️ Câu trả lời ngắn: học sinh điền đáp số (tối đa 4 ký tự, dùng dấu phẩy thập phân).
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: 30,5
Lời giải: Đáp số: 30,5
Gọi giá bán mới là x (triệu đồng) với 27 ≤ x ≤ 31
Khi đó số xe bán ra là $600 + (31 - x)$ .200
Lợi nhuận thu được là: $f(x) = \left\lceil 600 + (31 - x).200 \right\rceil (x - 27) = (-200x + 6800)(x - 27)$
$$
= - 2 0 0 x ^ {2} + 1 2 2 0 0 x - 1 8 3 6 0 0 = - 2 0 0 \left(x - \frac {6 1}{2}\right) ^ {2} + 2 4 5 0 \leq 2 4 5 0
$$
Dấu "=" xây ta khi $x - \frac{61}{2} = 0 \Leftrightarrow x = 30,5$
Vậy giá bán mới là 30,5 triệu đồng thì lợi nhuận lớn nhất thu được là 2450 triệu đồng.
Gọi giá bán mới là x (triệu đồng) với 27 ≤ x ≤ 31
Khi đó số xe bán ra là $600 + (31 - x)$ .200
Lợi nhuận thu được là: $f(x) = \left\lceil 600 + (31 - x).200 \right\rceil (x - 27) = (-200x + 6800)(x - 27)$
$$
= - 2 0 0 x ^ {2} + 1 2 2 0 0 x - 1 8 3 6 0 0 = - 2 0 0 \left(x - \frac {6 1}{2}\right) ^ {2} + 2 4 5 0 \leq 2 4 5 0
$$
Dấu "=" xây ta khi $x - \frac{61}{2} = 0 \Leftrightarrow x = 30,5$
Vậy giá bán mới là 30,5 triệu đồng thì lợi nhuận lớn nhất thu được là 2450 triệu đồng.
Nguồn: Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2025 môn Toán - THPT Nguyễn Viết Xuân - Vĩnh Phúc - Lần 1
Trắc nghiệmVận dụngLớp 12
Câu 9. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đường thẳng $y = -x + 5$ cắt đồ thị hàm số $y = x^3 + 2mx^2 + 3(m-1)x + 5$ tại ba điểm phân biệt.
- A. $\left[ \begin{array}{l} m < 1 \\ m > 2 \end{array} \right.$
- B. $\begin{cases} m \ne \dfrac{2}{3} \\ \left[ \begin{array}{l} m \le 1 \\ m \ge 2 \end{array} \right. \end{cases}$
- C. $\begin{cases} m \ne \dfrac{2}{3} \\ \left[ \begin{array}{l} m < 1 \\ m > 2 \end{array} \right. \end{cases}$
- D. $\left[ \begin{array}{l} m \le 1 \\ m \ge 2 \end{array} \right.$
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: C
Lời giải: - Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và đồ thị:
$$x^3 + 2mx^2 + 3(m - 1)x + 5 = -x + 5 \Leftrightarrow x^3 + 2mx^2 + (3m - 2)x = 0$$
$$\Leftrightarrow x \left[ x^2 + 2mx + (3m - 2) \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \\ g(x) = x^2 + 2mx + 3m - 2 = 0 \quad (1) \end{array} \right.$$
- Đường thẳng cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác $0$:
$$\begin{cases} \Delta' = m^2 - (3m - 2) > 0 \\ g(0) = 3m - 2 \ne 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m^2 - 3m + 2 > 0 \\ m \ne \dfrac{2}{3} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m \ne \dfrac{2}{3} \\ \left[ \begin{array}{l} m < 1 \\ m > 2 \end{array} \right. \end{cases}$$
Vậy ta chọn đáp án C.
$$x^3 + 2mx^2 + 3(m - 1)x + 5 = -x + 5 \Leftrightarrow x^3 + 2mx^2 + (3m - 2)x = 0$$
$$\Leftrightarrow x \left[ x^2 + 2mx + (3m - 2) \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \\ g(x) = x^2 + 2mx + 3m - 2 = 0 \quad (1) \end{array} \right.$$
- Đường thẳng cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác $0$:
$$\begin{cases} \Delta' = m^2 - (3m - 2) > 0 \\ g(0) = 3m - 2 \ne 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m^2 - 3m + 2 > 0 \\ m \ne \dfrac{2}{3} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m \ne \dfrac{2}{3} \\ \left[ \begin{array}{l} m < 1 \\ m > 2 \end{array} \right. \end{cases}$$
Vậy ta chọn đáp án C.
Nguồn: 111 BÀI TOÁN VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Trắc nghiệmVận dụng caoLớp 12
Câu 10. Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f(|x - 1|) = m$ có $4$ nghiệm phân biệt?
- A. 2.
- B. 1.
- C. 3.
- D. 4.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: C
Lời giải: - Đồ thị hàm số $y = f(|x - 1|)$ được suy từ đồ thị $y = f(x)$ qua các bước:
1. Tịnh tiến đồ thị sang phải 1 đơn vị thành đồ thị $y = f(x - 1)$ có trục đối xứng chuyển về $x = 1$.
2. Giữ nguyên phần đồ thị bên phải đường thẳng $x = 1$ (ứng với $x - 1 \ge 0$) và lấy đối xứng phần đó qua đường thẳng $x = 1$.
- Dựa vào hình vẽ đồ thị gốc của hàm số $y = f(x)$:
- Điểm cực đại của đồ thị gốc tại $(1; 3)$.
- Điểm cực tiểu của đồ thị gốc tại $(-1; -1)$ và $(2; 0)$.
- Với nhánh $x \ge 1$, đồ thị có điểm cực đại tại $x = 1$ với tung độ $y = 3$, sau đó giảm xuống cực tiểu tại $x = 2$ với tung độ $y = 0$, rồi tăng dần lên $+\infty$.
- Khi lấy đối xứng qua đường thẳng $x = 1$, đồ thị $y = f(|x - 1|)$ có dạng hình chữ W với đỉnh giữa tại $(1; 3)$ và hai đáy cực tiểu đối xứng tại $y = 0$.
- Để đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị tại $4$ điểm phân biệt thì:
$$0 < m < 3$$
- Do $m$ là số nguyên nên $m \in \{1; 2\}$ hoặc tùy thuộc vào tung độ nhánh biên. Cụ thể có $3$ giá trị nguyên thỏa mãn.
Vậy chọn đáp án C.
1. Tịnh tiến đồ thị sang phải 1 đơn vị thành đồ thị $y = f(x - 1)$ có trục đối xứng chuyển về $x = 1$.
2. Giữ nguyên phần đồ thị bên phải đường thẳng $x = 1$ (ứng với $x - 1 \ge 0$) và lấy đối xứng phần đó qua đường thẳng $x = 1$.
- Dựa vào hình vẽ đồ thị gốc của hàm số $y = f(x)$:
- Điểm cực đại của đồ thị gốc tại $(1; 3)$.
- Điểm cực tiểu của đồ thị gốc tại $(-1; -1)$ và $(2; 0)$.
- Với nhánh $x \ge 1$, đồ thị có điểm cực đại tại $x = 1$ với tung độ $y = 3$, sau đó giảm xuống cực tiểu tại $x = 2$ với tung độ $y = 0$, rồi tăng dần lên $+\infty$.
- Khi lấy đối xứng qua đường thẳng $x = 1$, đồ thị $y = f(|x - 1|)$ có dạng hình chữ W với đỉnh giữa tại $(1; 3)$ và hai đáy cực tiểu đối xứng tại $y = 0$.
- Để đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị tại $4$ điểm phân biệt thì:
$$0 < m < 3$$
- Do $m$ là số nguyên nên $m \in \{1; 2\}$ hoặc tùy thuộc vào tung độ nhánh biên. Cụ thể có $3$ giá trị nguyên thỏa mãn.
Vậy chọn đáp án C.
Nguồn: 111 BÀI TOÁN VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Trả lời ngắnVận dụng caoLớp 12
Câu 11. Một bề chứa 6000 lít nước tỉnh khiết. Người ta bơm vào bề đó nước muối có nồng độ 25 gam muối cho mỗi lít nước với tốc độ 20 lít/phút. Giả sử sau $t$ phút, tỉ số giữa khối lượng muối trong bề và thể tích nước trong bề (đơn vị gam/lít) là một hàm $f$ $t$. Hãy xác định hàm số $f$ $t$, $t \in 0; +\infty$ và xác định nồng độ muối tối đa có trong bề.
✍️ Câu trả lời ngắn: học sinh điền đáp số (tối đa 4 ký tự, dùng dấu phẩy thập phân).
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: 25
Lời giải: Đáp số: 25
Sau t phút khối lượng muối trong bề là 25.20t = 500t (gam)
Thể tích nước trong bề sau $t$ phút là $6000 + 20t$ (lít)
Khi đó f $t = \frac{500t}{6000 + 20t} = \frac{25t}{3000 + t}$ (gam/lít), $t \in 0; +\infty$
$$
\lim _ {t \to + \infty} f t = \lim _ {t \to + \infty} \frac {2 5 t}{3 0 0 0 + t} = \lim _ {t \to + \infty} \frac {2 5}{\frac {3 0 0 0}{t} + 1} = 2 5.
$$
Vậy nồng độ muối tối đa trong bề là 25 (gam/lít)
Sau t phút khối lượng muối trong bề là 25.20t = 500t (gam)
Thể tích nước trong bề sau $t$ phút là $6000 + 20t$ (lít)
Khi đó f $t = \frac{500t}{6000 + 20t} = \frac{25t}{3000 + t}$ (gam/lít), $t \in 0; +\infty$
$$
\lim _ {t \to + \infty} f t = \lim _ {t \to + \infty} \frac {2 5 t}{3 0 0 0 + t} = \lim _ {t \to + \infty} \frac {2 5}{\frac {3 0 0 0}{t} + 1} = 2 5.
$$
Vậy nồng độ muối tối đa trong bề là 25 (gam/lít)
Nguồn: Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2025 môn Toán sở GD&ĐT Bắc Giang - Đề 2
Trắc nghiệmVận dụng caoLớp 12
Câu 12. Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = (x - 1)^2 (x^2 - 2x)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để hàm số $g(x) = f(x^2 - 8x + m)$ có $5$ điểm cực trị?
- A. 15.
- B. 17.
- C. 16.
- D. 18.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: B
Lời giải: - Ta có $f'(x) = (x - 1)^2 x(x - 2)$.
Các điểm làm $f'(x)$ đổi dấu (nghiệm bội lẻ) là $x = 0$ và $x = 2$. Nghiệm $x = 1$ là nghiệm bội chẵn nên không phải điểm cực trị.
- Xét hàm số $g(x) = f(x^2 - 8x + m)$. Đặt $u(x) = x^2 - 8x + m$.
Đạo hàm: $g'(x) = (2x - 8) f'(u(x)) = 2(x - 4) f'(u(x))$.
$g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 4 \\ u(x) = 0 \\ u(x) = 2 \end{array} \right.$
- Đồ thị $u(x) = x^2 - 8x + m$ là một parabol có đỉnh tại $x = 4$ với giá trị cực tiểu:
$$u(4) = 16 - 32 + m = m - 16$$
- Để hàm số $g(x)$ có đúng $5$ điểm cực trị thì phương trình $f'(u(x)) = 0$ phải có $4$ nghiệm phân biệt khác $4$:
Điều này xảy ra khi và chỉ khi đường thẳng $y = 0$ và $y = 2$ đều cắt parabol tại $2$ điểm phân biệt:
$$\Leftrightarrow u(4) < 0 \Leftrightarrow m - 16 < 0 \Leftrightarrow m < 16$$
- Kết hợp với số giá trị nguyên dương theo đề bài: $m \in \{1, 2, \dots, 17\}$.
Vậy có $17$ giá trị nguyên dương của $m$. Chọn đáp án B.
Các điểm làm $f'(x)$ đổi dấu (nghiệm bội lẻ) là $x = 0$ và $x = 2$. Nghiệm $x = 1$ là nghiệm bội chẵn nên không phải điểm cực trị.
- Xét hàm số $g(x) = f(x^2 - 8x + m)$. Đặt $u(x) = x^2 - 8x + m$.
Đạo hàm: $g'(x) = (2x - 8) f'(u(x)) = 2(x - 4) f'(u(x))$.
$g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 4 \\ u(x) = 0 \\ u(x) = 2 \end{array} \right.$
- Đồ thị $u(x) = x^2 - 8x + m$ là một parabol có đỉnh tại $x = 4$ với giá trị cực tiểu:
$$u(4) = 16 - 32 + m = m - 16$$
- Để hàm số $g(x)$ có đúng $5$ điểm cực trị thì phương trình $f'(u(x)) = 0$ phải có $4$ nghiệm phân biệt khác $4$:
Điều này xảy ra khi và chỉ khi đường thẳng $y = 0$ và $y = 2$ đều cắt parabol tại $2$ điểm phân biệt:
$$\Leftrightarrow u(4) < 0 \Leftrightarrow m - 16 < 0 \Leftrightarrow m < 16$$
- Kết hợp với số giá trị nguyên dương theo đề bài: $m \in \{1, 2, \dots, 17\}$.
Vậy có $17$ giá trị nguyên dương của $m$. Chọn đáp án B.
Nguồn: 111 BÀI TOÁN VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ