Soạn đề nhanhTrang chủ › Chủ đề › Tọa độ không gian Oxyz
Tọa độ không gian Oxyz – câu hỏi Toán 12 có lời giải
Kho 318 câu hỏi chủ đề Tọa độ không gian Oxyz (Toán 12), trình bày theo cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT từ năm 2025, có đáp án và lời giải chi tiết.
Theo mức độ: Nhận biết: 127 · Thông hiểu: 109 · Vận dụng: 56 · Vận dụng cao: 26
Theo dạng: Trắc nghiệm: 178 · Đúng/Sai: 58 · Trả lời ngắn: 82
12 câu hỏi mẫu Tọa độ không gian Oxyz
Mỗi mức độ 3 câu. Bấm "Xem đáp án và lời giải" dưới từng câu. Toàn bộ 318 câu dùng được khi tạo đề trên Soạn đề nhanh.
Trắc nghiệmNhận biếtLớp 12
Câu 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường thẳng?
- A. $\frac{x-2}{3}=\frac{y-1}{z}=\frac{z-5}{4}$.
- B. $\frac{x-9}{7}=\frac{y-8}{-1}=\frac{z-6}{-2}$.
- C. $\frac{x-6}{3}=\frac{y-3}{4}=\frac{z-5}{z}$.
- D. $\frac{x-1}{y}=\frac{y-2}{5}=\frac{z-3}{4}$.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: B
Lời giải: Phương trình chính tắc của đường thẳng có dạng: $\frac{x-x_{0}}{a}=\frac{y-y_{0}}{b}=\frac{z-z_{0}}{c}$ với $a.b.c\neq0$ .
Nguồn: Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2025 môn Toán - THPT Trần Phú - Vĩnh Phúc - Lần 1
Trắc nghiệmNhận biếtLớp 12
Câu 2. Trong không gian Oxyz, cho điểm M thỏa mãn hệ thức $\overrightarrow{OM} = \vec{i} - 5\vec{j} + 2\vec{k}$. Tọa độ điểm M là
- A. $M(1;5;2)$.
- B. $M(2;5;1)$.
- C. $M(2;-5;1)$.
- D. $M(1;-5;2)$.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: D
Lời giải: Ta có: $\overrightarrow{OM}=\vec{i}-5\vec{j}+2\vec{k}\Leftrightarrow M(1;-5;2)$ .
Nguồn: Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2025 môn Toán - THPT Vĩnh Yên - Vĩnh Phúc - Lần 1
Trắc nghiệmNhận biếtLớp 12
Câu 3. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(-2;3;5). Tọa độ của véctor $\overrightarrow{OA}$ là
- A. $(-2;3;5)$.
- B. $(2; - 3;5)$.
- C. $(-2; - 3;5)$.
- D. $(2; - 3; - 5)$.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: A
Lời giải: Ta có: $\overrightarrow{OA}=\left(x_{A};y_{A};z_{A}\right)=(-2;3;5)$
Nguồn: Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2025 môn Toán - THPT Chuyên Vĩnh Phúc - Vĩnh Phúc - Lần 1
Trắc nghiệmThông hiểuLớp 12
Câu 4. Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(2;-1;3) và có vectơ pháp tuyến
$\vec{n} = (2;3;-1)$ là:
$\vec{n} = (2;3;-1)$ là:
- A. $2x + 3y - z - 2 = 0$.
- B. $2x + 3y - z + 2 = 0$.
- C. $2x - y + 3z - 2 = 0$.
- D. $2x - y + 3z + 2 = 0$.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: B
Lời giải: Phuong trình mặt phẳng (α) có dạng $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$.
Do đó $2(x-2)+3(y+1)-1(z-3)=0 \Leftrightarrow 2x+3y-z+2=0$ .
Do đó $2(x-2)+3(y+1)-1(z-3)=0 \Leftrightarrow 2x+3y-z+2=0$ .
Nguồn: Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2025 môn Toán - THPT Nguyễn Viết Xuân - Vĩnh Phúc - Lần 1
Đúng/SaiThông hiểuLớp 12
Câu 5. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho ba điểm $A(2;-2;2)$, $B(-1;1;-1)$ và $C(-3;1;0)$.
- a) Mặt cầu tâm A bán kính R = 3 có phương trình là: $(x - 2)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 2)^{2} = 3$ .
- b) Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng BC có phương trình là $2x - z + 2 = 0$ .
- c) Đường thẳng đi qua hai điểm A và B có phương trình tham số là $\left\{\begin{aligned}x&=2+t\\ y&=-2-t\\ z&=2+t\end{aligned}\right.$ .
- d) Biết rằng tập hợp các điểm M thỏa mãn $\frac{MA}{MB}=2$ là mặt cầu (S). Gọi (Q) là mặt phẳng qua điểm C và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Khi đó, mặt phẳng (Q) đi qua điểm D(-1;-1;0).
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: a) Sai · b) Sai · c) Đúng · d) Đúng
Lời giải: a) Sai
Mặt cầu tâm A bán kính $R=3$ có phương trình là: $(x-2)^{2}+(y+2)^{2}+(z-2)^{2}=9$ .
b) Sai
Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và nhận $\overrightarrow{BC}=(-2;0;1)$ làm VTPT có phương trình là:
$$
- 2 (x - 2) + 1 (z - 2) = 0 \Leftrightarrow 2 x - z - 2 = 0.
$$
c) Đúng
Đường thẳng đi qua điểm A và nhận $\overrightarrow{AB} = (-3; 3; -3)$ làm VTCP có phương trình là: $\begin{cases} x = 2 + t \\ y = -2 - t \\ z = 2 + t \end{cases}$.
d) Đúng
Gọi $M(x;y;z)$. Ta có: $AM = 2BM \Leftrightarrow AM^2 = 4BM^2 \Leftrightarrow x^2 + y^2 + z^2 + 4x - 4y + 4z = 0$
Mặt cầu (S) có tâm $I(-2;2;-2)$ và bán kính $R=2\sqrt{3}$. $IC=\sqrt{6}<R$ nên $C$ nằm trong mặt cầu (S)
Gọi K là hình chiếu vuông góc của I lên mp(Q). Ta có $d(I, (Q)) = IK \leq IC$.
(hình minh họa trong tài liệu gốc)
Bán kính đường tròn giao tuyến $r = \sqrt{R^2 - IK^2} \Rightarrow r_{\min} \Leftrightarrow IK_{max} \Leftrightarrow K \equiv C$.
Khi đó, mp (Q) qua điểm C và nhận $\overrightarrow{IC}=(-1;-1;2)$ làm VTPT.
$$
\Rightarrow (Q): x + y - 2 z + 2 = 0 \Rightarrow D \in (Q).
$$
Mặt cầu tâm A bán kính $R=3$ có phương trình là: $(x-2)^{2}+(y+2)^{2}+(z-2)^{2}=9$ .
b) Sai
Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và nhận $\overrightarrow{BC}=(-2;0;1)$ làm VTPT có phương trình là:
$$
- 2 (x - 2) + 1 (z - 2) = 0 \Leftrightarrow 2 x - z - 2 = 0.
$$
c) Đúng
Đường thẳng đi qua điểm A và nhận $\overrightarrow{AB} = (-3; 3; -3)$ làm VTCP có phương trình là: $\begin{cases} x = 2 + t \\ y = -2 - t \\ z = 2 + t \end{cases}$.
d) Đúng
Gọi $M(x;y;z)$. Ta có: $AM = 2BM \Leftrightarrow AM^2 = 4BM^2 \Leftrightarrow x^2 + y^2 + z^2 + 4x - 4y + 4z = 0$
Mặt cầu (S) có tâm $I(-2;2;-2)$ và bán kính $R=2\sqrt{3}$. $IC=\sqrt{6}<R$ nên $C$ nằm trong mặt cầu (S)
Gọi K là hình chiếu vuông góc của I lên mp(Q). Ta có $d(I, (Q)) = IK \leq IC$.
(hình minh họa trong tài liệu gốc)
Bán kính đường tròn giao tuyến $r = \sqrt{R^2 - IK^2} \Rightarrow r_{\min} \Leftrightarrow IK_{max} \Leftrightarrow K \equiv C$.
Khi đó, mp (Q) qua điểm C và nhận $\overrightarrow{IC}=(-1;-1;2)$ làm VTPT.
$$
\Rightarrow (Q): x + y - 2 z + 2 = 0 \Rightarrow D \in (Q).
$$
Nguồn: Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2025 môn Toán - THPT Nguyễn Viết Xuân - Vĩnh Phúc - Lần 1
Trắc nghiệmThông hiểuLớp 12
Câu 6. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d: \frac{x-3}{2} = \frac{y-4}{-5} = \frac{z+1}{3}$. Vector nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của $d$?
- A. $\overrightarrow{u_2}(2;4;-1)$.
- B. $\overrightarrow{u_1}(2;-5;3)$.
- C. $\overrightarrow{u_3}(2;5;3)$.
- D. $\overrightarrow{u_4}(3;4;1)$.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: B
Lời giải: Đúng lý thuyết chọn đáp án B.
Nguồn: Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2025 môn Toán - THPT Nguyễn Viết Xuân - Vĩnh Phúc - Lần 1
Trả lời ngắnVận dụngLớp 12
Câu 7. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2mx - 2(m-1)y + m - 2 = 0$ là phương trình của mặt cầu ($S_{m}$). Biết với mọi số thực $m$ thì ($S_{m}$) luôn chứa một đường tròn cố định. Tìm bán kính $r$ của đường tròn đó (làm tròn đến hàng phần chục).
✍️ Câu trả lời ngắn: học sinh điền đáp số (tối đa 4 ký tự, dùng dấu phẩy thập phân).
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: 1,4
Lời giải: Gọi $M(x; y; z)$ là một điểm thuộc đường tròn cổ định với mọi số thực $m$, khi đó ta có:
$x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2mx - 2(m-1)y + m - 2 = 0$ đúng với $\forall m$.
$m(2x-2y-z+1)+x^{2}+y^{2}+z^{2}+2y-2=0$ đúng với $\forall m$.
$$
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2 x - 2 y - z + 1 = 0 \\ x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + 2 y - 2 = 0 \end{array} \right.
$$
Vậy đường tròn cố định là giao tuyến của mặt phẳng $2x - 2y - z + 1 = 0$ và mặt cầu $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2y - 2 = 0$ có tâm $I(0; -1; 0)$, bán kính $R = \sqrt{3}$.
Do đó bán kính đường tròn $r = \sqrt{R^2 - \left[d(I, (P))\right]^2} = \sqrt{3 - \frac{|2 + 1|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2}}} = \sqrt{2} \approx 1,4$.
$x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2mx - 2(m-1)y + m - 2 = 0$ đúng với $\forall m$.
$m(2x-2y-z+1)+x^{2}+y^{2}+z^{2}+2y-2=0$ đúng với $\forall m$.
$$
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2 x - 2 y - z + 1 = 0 \\ x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + 2 y - 2 = 0 \end{array} \right.
$$
Vậy đường tròn cố định là giao tuyến của mặt phẳng $2x - 2y - z + 1 = 0$ và mặt cầu $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2y - 2 = 0$ có tâm $I(0; -1; 0)$, bán kính $R = \sqrt{3}$.
Do đó bán kính đường tròn $r = \sqrt{R^2 - \left[d(I, (P))\right]^2} = \sqrt{3 - \frac{|2 + 1|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2}}} = \sqrt{2} \approx 1,4$.
Nguồn: Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2025 môn Toán - THPT Trần Phú - Vĩnh Phúc - Lần 1
Trả lời ngắnVận dụngLớp 12
Câu 8. Một chiếc xe đang kéo căng sợi dây cáp trong công trường xây dựng, trên đó đã thiết lập hệ toạ độ Oxyz như hình vẽ với độ dài đơn vị trên các trực tọa độ bằng 1m. Tìm được tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB} = (a; b; c)$, khi đó giá trị của $a + c$
✍️ Câu trả lời ngắn: học sinh điền đáp số (tối đa 4 ký tự, dùng dấu phẩy thập phân).
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: -2,5
Lời giải: Ta có: $\overrightarrow{OA}=10\vec{k}\Rightarrow A(0;0;10)$
Mặt khác:
$$
O H = O B. \cos 3 0 ^ {0} = \frac {1 5 \sqrt {3}}{2}; O K = O B. \cos \left(9 0 ^ {0} - 3 0 ^ {0}\right) = \frac {1 5}{2}
$$
$$
\Rightarrow B \left(\frac {1 5}{2}; \frac {1 5 \sqrt {3}}{2}; 0\right) \Rightarrow \overrightarrow {A B} = \left(\frac {1 5}{2}; \frac {1 5 \sqrt {3}}{2}; - 1 0\right)
$$
Do đó $a=\frac{15}{2};c=-10$
Nên $a + c = -2,5$
Mặt khác:
$$
O H = O B. \cos 3 0 ^ {0} = \frac {1 5 \sqrt {3}}{2}; O K = O B. \cos \left(9 0 ^ {0} - 3 0 ^ {0}\right) = \frac {1 5}{2}
$$
$$
\Rightarrow B \left(\frac {1 5}{2}; \frac {1 5 \sqrt {3}}{2}; 0\right) \Rightarrow \overrightarrow {A B} = \left(\frac {1 5}{2}; \frac {1 5 \sqrt {3}}{2}; - 1 0\right)
$$
Do đó $a=\frac{15}{2};c=-10$
Nên $a + c = -2,5$
Nguồn: Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2025 môn Toán - THPT Đồng Đậu - Vĩnh Phúc - Lần 1
Trả lời ngắnVận dụngLớp 12
Câu 9. Một cái trống trường có bán kính các đáy là 30cm, thiết diện vuông góc với trực và cách đều hai đáy có diện tích là 1600π(cm²), chiều dài của trống là 1m. Biết rằng mặt phẳng chứa trực cắt mặt xung quanh của trống là các đường Parabol. Gọi V thể tích của cái trống. Tính 10V?
✍️ Câu trả lời ngắn: học sinh điền đáp số (tối đa 4 ký tự, dùng dấu phẩy thập phân).
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: 4252
Lời giải: Trả lời:................
Nguồn: Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2025 môn Toán - THPT Hai Bà Trưng - Vĩnh Phúc - Lần 1
Trả lời ngắnVận dụng caoLớp 12
Câu 10. Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật ABCD, mặt phẳng (ABCD) song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được buộc vào móc E của chiếc cần cầu sao cho các đoạn dây cáp EA, EB, EC, ED có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc bằng 45°. Chiếc cần cầu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng. Biết trọng lượng chiếc xe ô tô là 4000 N và trọng lượng khung sắt là 2000N; cường độ các lực căng $\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2}, \overrightarrow{F_3}, \overrightarrow{F_4}$ là bằng nhau. Cường độ lực căng $\overrightarrow{F_1}$ là m N, tính m (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
✍️ Câu trả lời ngắn: học sinh điền đáp số (tối đa 4 ký tự, dùng dấu phẩy thập phân).
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: 2121
Lời giải: Đáp số: 2121
(hình minh họa trong tài liệu gốc)
(hình minh họa trong tài liệu gốc)
Gọi $A_1, B_1, C_1, D_1$ thỏa mãn: $\overrightarrow{EA_1} = \overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{EB_1} = \overrightarrow{F_2}, \overrightarrow{EC_1} = \overrightarrow{F_3}, \overrightarrow{ED_1} = \overrightarrow{F_4}$. Do $EA, EB, EC, ED$ có độ dài bằng nhau và cường độ các lực căng $\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2}, \overrightarrow{F_3}, \overrightarrow{F_4}$ là bằng nhau nên $EA_1 = EB_1 = EC_1 = ED_1$. Gọi $O$ là tâm của hình chữ nhật $A_1B_1C_1D_1$.
Theo giả thiết ta có $\left|\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2} + \overrightarrow{F_3} + \overrightarrow{F_4}\right| = 6000$. Mặt khác: $\left|\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2} + \overrightarrow{F_3} + \overrightarrow{F_4}\right| = \left|4\overrightarrow{EO}\right| = 4EO$. Suy ra $EO = 1500$.
$\text{Ta có } (ED,(ABCD)) = (ED_1,(A_1B_1C_1D_1)) = ED_1O = 45^\circ.\text{ Nhur vây } ED_1 = \frac{EO}{\sin 45^\circ} = 1500\sqrt{2}.$
Cường độ lực căng $\overrightarrow{F_{1}}$ là $1500\sqrt{2}N \approx 2121N$ .
(hình minh họa trong tài liệu gốc)
(hình minh họa trong tài liệu gốc)
Gọi $A_1, B_1, C_1, D_1$ thỏa mãn: $\overrightarrow{EA_1} = \overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{EB_1} = \overrightarrow{F_2}, \overrightarrow{EC_1} = \overrightarrow{F_3}, \overrightarrow{ED_1} = \overrightarrow{F_4}$. Do $EA, EB, EC, ED$ có độ dài bằng nhau và cường độ các lực căng $\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2}, \overrightarrow{F_3}, \overrightarrow{F_4}$ là bằng nhau nên $EA_1 = EB_1 = EC_1 = ED_1$. Gọi $O$ là tâm của hình chữ nhật $A_1B_1C_1D_1$.
Theo giả thiết ta có $\left|\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2} + \overrightarrow{F_3} + \overrightarrow{F_4}\right| = 6000$. Mặt khác: $\left|\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2} + \overrightarrow{F_3} + \overrightarrow{F_4}\right| = \left|4\overrightarrow{EO}\right| = 4EO$. Suy ra $EO = 1500$.
$\text{Ta có } (ED,(ABCD)) = (ED_1,(A_1B_1C_1D_1)) = ED_1O = 45^\circ.\text{ Nhur vây } ED_1 = \frac{EO}{\sin 45^\circ} = 1500\sqrt{2}.$
Cường độ lực căng $\overrightarrow{F_{1}}$ là $1500\sqrt{2}N \approx 2121N$ .
Nguồn: Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2025 môn Toán - THPT Nguyễn Viết Xuân - Vĩnh Phúc - Lần 1
Trả lời ngắnVận dụng caoLớp 12
Câu 11. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu $(S): x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 4y + 6z - 13 = 0$ và đường thẳng $d: \frac{x+1}{1} = \frac{y+2}{1} = \frac{z-1}{1}$. Điểm $M(a; b; c), (a > 0)$ nằm trên đường thẳng $d$ sao cho từ $M$ kể được ba tiếp tuyến $MA, MB, MC$ đến mặt cầu $(S)$ ($A, B, C$ là các tiếp điểm) và $AMB = 60^{0}$, $BMC = 90^{0}$, $CMA = 120^{0}$. Tính $9(a^{3} + b^{3} + c^{3})$.
✍️ Câu trả lời ngắn: học sinh điền đáp số (tối đa 4 ký tự, dùng dấu phẩy thập phân).
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: 112
Lời giải: Đáp án: 112
(hình minh họa trong tài liệu gốc)
Mặt cầu (S) có tâm $I(1;2;-3)$ và bán kính $R=\sqrt{1^{2}+2^{2}+\left(-3\right)^{2}+13}=3\sqrt{3}$
Gọi (C) là đường tròn giao tuyến của mặt phẳng (ABC) và mặt cầu (S).
Đặt $MA = MB = MC = x$ khi đó $AB = x; BC = x\sqrt{2}; CA = x\sqrt{3}$ do đó tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên trung điểm $H$ của $AC$ là tâm đường tròn $(C)$ và $H, I, M$ thẳng hàng.
Vì $AMC = 120^{0}$ nên tam giác $AIC$ đều do đó $x\sqrt{3} = R \Leftrightarrow x = 3$ suy ra $IM = 2AM = 2x = 6$.
Lại có $M \in d$ nên $M(-1 + t; -2 + t; 1 + t), (t > 1)$ mà $IM = 6$ nên $(t - 2)^{2} + (t - 4)^{2} + (t + 4)^{2} = 36$
$$
\Leftrightarrow 3 t ^ {2} - 4 t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 0 \\ t = \frac {4}{3}. \end{array} \right.
$$
Mà t > 1 nên $t = \frac{4}{3}$ suy ra $M\left(\frac{1}{3}; -\frac{2}{3}; \frac{7}{3}\right)$ nên $a^3 + b^3 + c^3 = \frac{112}{9}$.
Vây: $9\left(a^{3}+b^{3}+c^{3}\right)=112.$
(hình minh họa trong tài liệu gốc)
Mặt cầu (S) có tâm $I(1;2;-3)$ và bán kính $R=\sqrt{1^{2}+2^{2}+\left(-3\right)^{2}+13}=3\sqrt{3}$
Gọi (C) là đường tròn giao tuyến của mặt phẳng (ABC) và mặt cầu (S).
Đặt $MA = MB = MC = x$ khi đó $AB = x; BC = x\sqrt{2}; CA = x\sqrt{3}$ do đó tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên trung điểm $H$ của $AC$ là tâm đường tròn $(C)$ và $H, I, M$ thẳng hàng.
Vì $AMC = 120^{0}$ nên tam giác $AIC$ đều do đó $x\sqrt{3} = R \Leftrightarrow x = 3$ suy ra $IM = 2AM = 2x = 6$.
Lại có $M \in d$ nên $M(-1 + t; -2 + t; 1 + t), (t > 1)$ mà $IM = 6$ nên $(t - 2)^{2} + (t - 4)^{2} + (t + 4)^{2} = 36$
$$
\Leftrightarrow 3 t ^ {2} - 4 t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 0 \\ t = \frac {4}{3}. \end{array} \right.
$$
Mà t > 1 nên $t = \frac{4}{3}$ suy ra $M\left(\frac{1}{3}; -\frac{2}{3}; \frac{7}{3}\right)$ nên $a^3 + b^3 + c^3 = \frac{112}{9}$.
Vây: $9\left(a^{3}+b^{3}+c^{3}\right)=112.$
Nguồn: Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2025 môn Toán - THPT Nguyễn Viết Xuân - Vĩnh Phúc - Lần 1
Trả lời ngắnVận dụng caoLớp 12
Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): $ax + by + cz - 1 = 0$ với c < 0 đi qua hai điểm A(0;1;0), B(1;0;0) và tạo với mặt phẳng (yOz) một góc 60°. Tính giá trị $a + b + c$ (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
✍️ Câu trả lời ngắn: học sinh điền đáp số (tối đa 4 ký tự, dùng dấu phẩy thập phân).
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: 0,59
Lời giải: Đáp số: 0,59
Ta có: $A, B \in (P)$ nên $\begin{cases} b-1=0 \\ a-1=0 \end{cases}$. Suy ra $(P)$ có dạng $x+y+cz-1=0$
Nên (P) có vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (1;1;c)$ .
Mặt phẳng (yOz) có vectơ pháp tuyến là $\vec{i}=(1;0;0)$ .
Ta có: $\cos 60^{\circ} = \frac{|\vec{n},\vec{i}|}{|\vec{n}|.\vec{i}|} \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{2 + c^{2}}.1} \Leftrightarrow 2 + c^{2} = 4 \Leftrightarrow c = \pm \sqrt{2} \Rightarrow c = -\sqrt{2}$ do $c < 0$.
Ta có: $a + b + c = a + a + c = 1 + 1 - \sqrt{2} = 2 - \sqrt{2} \approx 0,59$ .
Ta có: $A, B \in (P)$ nên $\begin{cases} b-1=0 \\ a-1=0 \end{cases}$. Suy ra $(P)$ có dạng $x+y+cz-1=0$
Nên (P) có vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (1;1;c)$ .
Mặt phẳng (yOz) có vectơ pháp tuyến là $\vec{i}=(1;0;0)$ .
Ta có: $\cos 60^{\circ} = \frac{|\vec{n},\vec{i}|}{|\vec{n}|.\vec{i}|} \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{2 + c^{2}}.1} \Leftrightarrow 2 + c^{2} = 4 \Leftrightarrow c = \pm \sqrt{2} \Rightarrow c = -\sqrt{2}$ do $c < 0$.
Ta có: $a + b + c = a + a + c = 1 + 1 - \sqrt{2} = 2 - \sqrt{2} \approx 0,59$ .
Nguồn: Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2025 môn Toán - THPT Bình Xuyên - Vĩnh Phúc - Lần 1