Soạn đề nhanhTrang chủ › Chủ đề › Nguyên hàm – Tích phân
Nguyên hàm – Tích phân – câu hỏi Toán 12 có lời giải
Kho 118 câu hỏi chủ đề Nguyên hàm – Tích phân (Toán 12), trình bày theo cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT từ năm 2025, có đáp án và lời giải chi tiết.
Theo mức độ: Nhận biết: 66 · Thông hiểu: 44 · Vận dụng: 8
Theo dạng: Trắc nghiệm: 88 · Đúng/Sai: 22 · Trả lời ngắn: 8
9 câu hỏi mẫu Nguyên hàm – Tích phân
Mỗi mức độ 3 câu. Bấm "Xem đáp án và lời giải" dưới từng câu. Toàn bộ 118 câu dùng được khi tạo đề trên Soạn đề nhanh.
Trắc nghiệmNhận biếtLớp 12
Câu 1. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2x + 3$ là
- A. $x^{2} + 3x + C$.
- B. $2x^{2} + 3x + C$.
- C. $x^{2} + C$.
- D. $2x^{2} + C$.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: A
Lời giải: $\int(2x+3)dx=x^{2}+3x+C$ .
Nguồn: Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2025 môn Toán - THPT Nguyễn Viết Xuân - Vĩnh Phúc - Lần 1
Trắc nghiệmNhận biếtLớp 12
Câu 2. Nếu $\int_{1}^{2} f x \, \mathrm{d}x = -2$ và $\int_{2}^{3} f x \, \mathrm{d}x = 1$ thì $\int_{1}^{3} f x \, \mathrm{d}x$ bằng
- A. -3.
- B. -1.
- C. 1.
- D. 3.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: B
Lời giải: $$
\int_ {1} ^ {3} f x \mathrm{d} x = \int_ {1} ^ {2} f x \mathrm{d} x + \int_ {2} ^ {3} f x \mathrm{d} x = - 2 + 1 = - 1
$$
\int_ {1} ^ {3} f x \mathrm{d} x = \int_ {1} ^ {2} f x \mathrm{d} x + \int_ {2} ^ {3} f x \mathrm{d} x = - 2 + 1 = - 1
$$
Nguồn: Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2025 môn Toán - THPT Bình Xuyên - Vĩnh Phúc - Lần 1
Trắc nghiệmNhận biếtLớp 12
Câu 3. Cho hàm số $y = f(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $y = x^3$. Phát biểu nào sau đây đúng?
- A. $f(x) = \frac{x^4}{4} + C$.
- B. $f(x) = 3x^2$.
- C. $f(x) = 4x^3$.
- D. $f(x) = \frac{x^4}{4}$.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: A
Lời giải: Ta có $\int x^{3}dx=\frac{x^{4}}{4}+C$.
Nguồn: Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2025 môn Toán - THPT Trần Phú - Vĩnh Phúc - Lần 1
Trắc nghiệmThông hiểuLớp 12
Câu 4. Nếu $\int_{-2}^{1} f(x) dx = -1$ và $\int_{1}^{7} f(x) dx = -5$ thì $\int_{-2}^{7} f(x) dx$ bằng
- A. -4.
- B. 5.
- C. -6.
- D. 4.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: C
Lời giải: Ta có $\int_{-2}^{7} f(x) dx = \int_{-2}^{1} f(x) dx + \int_{1}^{7} f(x) dx = -1 - 5 = -6$.
Nguồn: Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2025 môn Toán - THPT Vĩnh Yên - Vĩnh Phúc - Lần 1
Đúng/SaiThông hiểuLớp 12
Câu 5. Cho hàm số $y = f(x)$ có $f'(x) = 2\cos^2\frac{x}{2} + 3, \forall x \in \mathbb{R}$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
- a) Hàm số $y = f(x)$ có dạng $f(x) = \sin x + 4x + C$ với C là hằng số.
- b) Nếu $f(0)=4$ thì $f\left(\frac{\pi}{2}\right)=2\pi+5$ .
- c) $\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(x)dx=F\left(\frac{\pi}{2}\right)-F(0)$ với $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ .
- d) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $y = f'(x)$; y = 6 và hai đường thẳng $x = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$ có dạng $S = a + b\pi$ thì $a + 2b = -1$.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: a) Đúng · b) Đúng · c) Đúng · d) Sai
Lời giải: a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai
a) Đúng. Ta có $f(x)=\int f'(x)dx=\int\left(2\cos^{2}\frac{x}{2}+3\right)dx=\int\left(2.\frac{1+\cos x}{2}+3\right)dx$
$=\int(\cos x+4)dx=\sin x+4x+C$
b) Đúng. Ta có $f(x) = \sin x + 4x + C$
$$
\text {Do} f (0) = 4 \Rightarrow C = 4. \text {Vay} f (x) = \sin x + 4 x + 4 \Rightarrow f \left(\frac {\pi}{2}\right) = 1 + 4. \frac {\pi}{2} + 4 = 5 + 2 \pi
$$
c) Đúng.
d) Sai: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $y = f'(x)$; y = 6 và hai đường thẳng $x = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$ được xác định bởi công thức
$$
S = \int_ {0} ^ {\frac {\pi}{2}} \left| \left(2 \cos^ {2} \frac {x}{2} + 3\right) - 6 \right| d x = \int_ {0} ^ {\frac {\pi}{2}} \left| 2 \cos^ {2} \frac {x}{2} - 3 \right| d x = \int_ {0} ^ {\frac {\pi}{2}} | 1 + \cos x - 3 | d x = \int_ {0} ^ {\frac {\pi}{2}} (2 - \cos x) d x
$$
$$
= (2 x - \sin x) \big | _ {0} ^ {\frac {\pi}{2}} = - 1 + \pi .
$$
$$
\text {Vay} a = - 1; b = 1 \Rightarrow a + 2 b = 1.
$$
a) Đúng. Ta có $f(x)=\int f'(x)dx=\int\left(2\cos^{2}\frac{x}{2}+3\right)dx=\int\left(2.\frac{1+\cos x}{2}+3\right)dx$
$=\int(\cos x+4)dx=\sin x+4x+C$
b) Đúng. Ta có $f(x) = \sin x + 4x + C$
$$
\text {Do} f (0) = 4 \Rightarrow C = 4. \text {Vay} f (x) = \sin x + 4 x + 4 \Rightarrow f \left(\frac {\pi}{2}\right) = 1 + 4. \frac {\pi}{2} + 4 = 5 + 2 \pi
$$
c) Đúng.
d) Sai: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $y = f'(x)$; y = 6 và hai đường thẳng $x = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$ được xác định bởi công thức
$$
S = \int_ {0} ^ {\frac {\pi}{2}} \left| \left(2 \cos^ {2} \frac {x}{2} + 3\right) - 6 \right| d x = \int_ {0} ^ {\frac {\pi}{2}} \left| 2 \cos^ {2} \frac {x}{2} - 3 \right| d x = \int_ {0} ^ {\frac {\pi}{2}} | 1 + \cos x - 3 | d x = \int_ {0} ^ {\frac {\pi}{2}} (2 - \cos x) d x
$$
$$
= (2 x - \sin x) \big | _ {0} ^ {\frac {\pi}{2}} = - 1 + \pi .
$$
$$
\text {Vay} a = - 1; b = 1 \Rightarrow a + 2 b = 1.
$$
Nguồn: Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2025 môn Toán - THPT Lê Xoay - Vĩnh Phúc - Lần 1
Trắc nghiệmThông hiểuLớp 12
Câu 6. Hàm số $F(x) = 2x + \sin 2x$ là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?
- A. $x^{2} + \frac{1}{2}\cos 2x$.
- B. $2 + 2\cos 2x$.
- C. $x^{2} - \frac{1}{2}\cos 2x$.
- D. $2 - 2\cos 2x$.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: B
Lời giải: Ta có $F(x)=2x+\sin 2x \Rightarrow F'(x)=2+2\cos 2x$ .
Vậy hàm số $F(x) = 2x + \sin 2x$ là một nguyên hàm của hàm số $2 + 2\cos 2x$.
Vậy hàm số $F(x) = 2x + \sin 2x$ là một nguyên hàm của hàm số $2 + 2\cos 2x$.
Nguồn: Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2025 môn Toán - THPT Trần Nguyễn Hãn - Vĩnh Phúc - Lần 1
Trả lời ngắnVận dụngLớp 12
Câu 7. Nhân díp đi đã ngoại, lớp 12A dự kiến dụng một cái trại có dạng hình parabol như hình vẽ. Nền của lêu trại là một hình chữ nhật có kích thước bề ngang 3 mét, chiều dài 5 mét, đỉnh trại cách nền 3 mét. Thể tích phần không gian bên trong lêu trại bằng bao nhiêu mét khối?
✍️ Câu trả lời ngắn: học sinh điền đáp số (tối đa 4 ký tự, dùng dấu phẩy thập phân).
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: 30
Lời giải: (hình minh họa trong tài liệu gốc)
Trả lời: 30m³
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, hình dạng khung trại là parabol có phương trình
$y = f(x) = ax^{2} + bx + c$, vì đỉnh trải cao 3m và bề ngang rộng 3m nên parabol đi qua điểm (0;3) và
$$
\left(\frac {3}{2}; 0\right). \text {Ta có}: \left\{ \begin{array}{l} b = 0 \\ 3 = c \\ 0 = a. \left(\frac {3}{2}\right) ^ {2} + c \end{array} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} b = 0 \\ a = - \frac {4}{3} \\ c = 3 \end{array} \right. \right.
$$
Suy ra parabol có phương trình $y = f(x) = -\frac{4}{3}x^{2} + 3$ .
Mỗi mặt phẳng vuông góc Ox tại điểm có hoành độ $x, 0 \leq x \leq h$ cắt khối chót theo mặt cắt là hình
chữ nhật có độ dài các cạnh lần lượt là 5 và $\left|f(x)\right|$, có diện tích $S(x) = 5$. $\left|f(x)\right|$, với $-\frac{3}{2} \leq x \leq \frac{3}{2}$.
Vậy thể tích phần không gian trong trại là $V = \int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{3}{2}} 5 \cdot |f(x)| dx = 5 \cdot \int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{3}{2}} \left| -\frac{4}{3} x^{2} + 3 \right| dx = 30 \, m^{3}$ .
Trả lời: 30m³
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, hình dạng khung trại là parabol có phương trình
$y = f(x) = ax^{2} + bx + c$, vì đỉnh trải cao 3m và bề ngang rộng 3m nên parabol đi qua điểm (0;3) và
$$
\left(\frac {3}{2}; 0\right). \text {Ta có}: \left\{ \begin{array}{l} b = 0 \\ 3 = c \\ 0 = a. \left(\frac {3}{2}\right) ^ {2} + c \end{array} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} b = 0 \\ a = - \frac {4}{3} \\ c = 3 \end{array} \right. \right.
$$
Suy ra parabol có phương trình $y = f(x) = -\frac{4}{3}x^{2} + 3$ .
Mỗi mặt phẳng vuông góc Ox tại điểm có hoành độ $x, 0 \leq x \leq h$ cắt khối chót theo mặt cắt là hình
chữ nhật có độ dài các cạnh lần lượt là 5 và $\left|f(x)\right|$, có diện tích $S(x) = 5$. $\left|f(x)\right|$, với $-\frac{3}{2} \leq x \leq \frac{3}{2}$.
Vậy thể tích phần không gian trong trại là $V = \int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{3}{2}} 5 \cdot |f(x)| dx = 5 \cdot \int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{3}{2}} \left| -\frac{4}{3} x^{2} + 3 \right| dx = 30 \, m^{3}$ .
Nguồn: Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2025 môn Toán - THPT Chuyên Vĩnh Phúc - Vĩnh Phúc - Lần 1
Trả lời ngắnVận dụngLớp 12
Câu 8. Người ta dự định lắp kính cho cửa của một mái vòm có dạng hình parabol. Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào, biết rằng vòm cửa cao 21 m và rộng 70 m (Hình 33).
✍️ Câu trả lời ngắn: học sinh điền đáp số (tối đa 4 ký tự, dùng dấu phẩy thập phân).
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: 980
Lời giải: Chọn hệ tọa độ Oxy với gốc tọa độ O trùng với chân cửa bên trái như hình dưới đây.
(hình minh họa trong tài liệu gốc)
Gọi đồ thị hàm số biểu thị cho cửa đã cho có dạng: $y = ax^{2} + bx + c$ , ( $a \neq 0$ ).
Đồ thị hàm số này đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$ và các điểm $A(35;21)$, $B(70;0)$ nên
$$
\left\{ \begin{array}{l} c = 0 \\ 1 2 2 5 a + 3 5 b + c = 2 1 \Leftrightarrow \\ 4 9 0 0 a + 7 0 b + c = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = - \frac {3}{1 7 5} \\ b = \frac {6}{5} \quad \text {Suy ra:} y = - \frac {3}{1 7 5} x ^ {2} + \frac {6}{5} x. \\ c = 0 \end{array} \right.
$$
Diện tích mặt kính cần lắp là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = -\frac{3}{175} x^2 + \frac{6}{5} x$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x = 0; x = 70$.
Ta có: $S = \int_{0}^{70}\left(-\frac{3}{175}x^{2} + \frac{6}{5}x\right)\mathrm{d}x = \left(-\frac{1}{175}x^{3} + \frac{3}{5}x^{2}\right)\bigg|_{0}^{70} = 980\left(m^{2}\right)$ .
(hình minh họa trong tài liệu gốc)
Gọi đồ thị hàm số biểu thị cho cửa đã cho có dạng: $y = ax^{2} + bx + c$ , ( $a \neq 0$ ).
Đồ thị hàm số này đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$ và các điểm $A(35;21)$, $B(70;0)$ nên
$$
\left\{ \begin{array}{l} c = 0 \\ 1 2 2 5 a + 3 5 b + c = 2 1 \Leftrightarrow \\ 4 9 0 0 a + 7 0 b + c = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = - \frac {3}{1 7 5} \\ b = \frac {6}{5} \quad \text {Suy ra:} y = - \frac {3}{1 7 5} x ^ {2} + \frac {6}{5} x. \\ c = 0 \end{array} \right.
$$
Diện tích mặt kính cần lắp là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = -\frac{3}{175} x^2 + \frac{6}{5} x$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x = 0; x = 70$.
Ta có: $S = \int_{0}^{70}\left(-\frac{3}{175}x^{2} + \frac{6}{5}x\right)\mathrm{d}x = \left(-\frac{1}{175}x^{3} + \frac{3}{5}x^{2}\right)\bigg|_{0}^{70} = 980\left(m^{2}\right)$ .
Nguồn: Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2025 môn Toán - THPT Yên Lạc 2 - Vĩnh Phúc - Lần 1
Trả lời ngắnVận dụngLớp 12
Câu 9. Cho khối trụ có bán kính là $R$ chiều cao $h$, hai đường tròn đáy có tâm là O và O'. Một khối nón có đỉnh trùng với O' và đáy có tâm ($O;2R$). Gọi $V_1$ là thể tích phần khối nón nằm bên ngoài khối trụ, $V_2$ là thể tích phần khối trụ nằm bên ngoài khối nón. Tính $\frac{V_1}{V_2}$
✍️ Câu trả lời ngắn: học sinh điền đáp số (tối đa 4 ký tự, dùng dấu phẩy thập phân).
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: 2
Nguồn: Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2025 môn Toán - THPT Lê Thánh Tông - TP HCM (Lần 2)