Soạn đề nhanhTrang chủ › Chủ đề › Tọa độ trong mặt phẳng Oxy
Tọa độ trong mặt phẳng Oxy – câu hỏi Toán 10 có lời giải
Kho 29 câu hỏi chủ đề Tọa độ trong mặt phẳng Oxy (Toán 10), trình bày theo cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT từ năm 2025, có đáp án và lời giải chi tiết.
Theo mức độ: Nhận biết: 1 · Thông hiểu: 4 · Vận dụng: 18 · Vận dụng cao: 6
Theo dạng: Trả lời ngắn: 24 · Trắc nghiệm: 1 · Đúng/Sai: 4
10 câu hỏi mẫu Tọa độ trong mặt phẳng Oxy
Mỗi mức độ 3 câu. Bấm "Xem đáp án và lời giải" dưới từng câu. Toàn bộ 29 câu dùng được khi tạo đề trên Soạn đề nhanh.
Trắc nghiệmNhận biếtLớp 10
Câu 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho elip có phương trình $\frac{x^{2}}{49}+\frac{y^{2}}{16}=1$. Độ dài trực nhỏ của đường elip bằng bao nhiêu?
- A. 7.
- B. 4.
- C. 5.
- D. 8.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: D
Lời giải: Ta có $\frac{x^{2}}{49}+\frac{y^{2}}{16}=1\Leftrightarrow\frac{x^{2}}{7^{2}}+\frac{y^{2}}{4^{2}}=1\Rightarrow a=7, b=4$ .
Vậy độ dài trực nhỏ của đường elip là: $2b = 2.4 = 8$.
Vậy độ dài trực nhỏ của đường elip là: $2b = 2.4 = 8$.
Nguồn: Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2025 môn Toán - THPT Chuyên Vĩnh Phúc - Vĩnh Phúc - Lần 1
Đúng/SaiThông hiểuLớp 10⚠ Chưa đối chiếu
Câu 2. Chất điểm chuyển động theo quy luật vận tốc $v(t)(m/s)$ có dạng đường Parapol ($P$) khi $0 \leq t \leq 5(s)$ và $v(t)$ có dạng đường thẳng khi $5 \leq t \leq 10(s)$ (Hình vẽ). Cho định Parapol là $I(2,3)$. Hồi quảng đường đi được chất điểm trong thời gian $0 \leq t \leq 10(s)$ là bao nhiêu mét?
- a) Phương trình Parabol (P) có dạng: $y = 2x^{2} - 8x + 11$
- b) Quảng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian từ $0 \leq t \leq 5(s)$ là $\frac{112}{3}(m)$
- c) Quảng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian từ $5 \leq t \leq 10(s)$ là $\frac{105}{2}(m)$
- d) Quảng đường đi được chất điểm trong thời gian $0 \leq t \leq 10(s)$ là $\frac{545}{6}$ (m)
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: a) Đúng · b) Sai · c) Đúng · d) Đúng
Nguồn: Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2025 môn Toán - THPT Sáng Sơn - Vĩnh Phúc - Lần 1
Đúng/SaiThông hiểuLớp 10⚠ Chưa đối chiếu
Câu 3. Một sợi dây kim loại dài 6 (cm). Người ta cắt sợi dây đó thành hai đoạn. Đoàn có độ dài
$x(\text{cm})$ được uốn thành đường tròn và đoạn còn lại được uốn thành hình vuông ($0 < x < 6$).
$x(\text{cm})$ được uốn thành đường tròn và đoạn còn lại được uốn thành hình vuông ($0 < x < 6$).
- a) Bán kính đường tròn là $r=\frac{x}{\pi}$ .
- b) Diện tích hình vuông là $\left(\frac{6-x}{4}\right)^{2}$ .
- c) Tổng diện tích hai hình là $\frac{(4+\pi).x^{2}-12\pi x+36\pi}{16\pi}$ .
- d) Khi $x=\frac{6\pi}{2+\pi}$ thì hình vuông và hình tròn tương ứng có tổng diện tích nhỏ nhất.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: a) Sai · b) Đúng · c) Đúng · d) Sai
Lời giải: a) Sai: Ta có chu vi đường tròn là x, 0 < x < 6
Suy ra $2\pi r = x \Rightarrow r = \frac{x}{2\pi}$
b) Đúng: Có chu vi hình vuông là 6 - x, suy ra hình vuông có cạnh $\frac{6 - x}{4}$
Diện tích hình vuông là $\left(\frac{6-x}{4}\right)^{2}$ .
c) Đúng: Diện tích hình tròn là $\frac{x^{2}}{4\pi}\left(\mathrm{cm}^{2}\right)$ .
Tổng diện tích hai hình là
$$
S = \frac {x ^ {2}}{4 \pi} + \left(\frac {6 - x}{4}\right) ^ {2} = \frac {x ^ {2}}{4 \pi} + \frac {x ^ {2} + 1 2 x + 3 6}{1 6} = \frac {(4 + \pi) . x ^ {2} - 1 2 \pi x + 3 6 \pi}{1 6 \pi}
$$
d) Sai: Ta có
$$
S ^ {\prime} (x) = \frac {1}{1 6 \pi} [ 2 x (4 + \pi) - 1 2 ] = \frac {x (4 + \pi)}{8 \pi} - \frac {3}{4 \pi} = 0 \Leftrightarrow x = \frac {6 \pi}{4 + \pi}.
$$
Vậy khi $x=\frac{6\pi}{4+\pi}$ thì hình vuông và hình tròn tương ứng có tổng diện tích nhỏ nhất.
Suy ra $2\pi r = x \Rightarrow r = \frac{x}{2\pi}$
b) Đúng: Có chu vi hình vuông là 6 - x, suy ra hình vuông có cạnh $\frac{6 - x}{4}$
Diện tích hình vuông là $\left(\frac{6-x}{4}\right)^{2}$ .
c) Đúng: Diện tích hình tròn là $\frac{x^{2}}{4\pi}\left(\mathrm{cm}^{2}\right)$ .
Tổng diện tích hai hình là
$$
S = \frac {x ^ {2}}{4 \pi} + \left(\frac {6 - x}{4}\right) ^ {2} = \frac {x ^ {2}}{4 \pi} + \frac {x ^ {2} + 1 2 x + 3 6}{1 6} = \frac {(4 + \pi) . x ^ {2} - 1 2 \pi x + 3 6 \pi}{1 6 \pi}
$$
d) Sai: Ta có
$$
S ^ {\prime} (x) = \frac {1}{1 6 \pi} [ 2 x (4 + \pi) - 1 2 ] = \frac {x (4 + \pi)}{8 \pi} - \frac {3}{4 \pi} = 0 \Leftrightarrow x = \frac {6 \pi}{4 + \pi}.
$$
Vậy khi $x=\frac{6\pi}{4+\pi}$ thì hình vuông và hình tròn tương ứng có tổng diện tích nhỏ nhất.
Nguồn: Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2025 môn Toán - Sở GD&ĐT Quảng Bình
Đúng/SaiThông hiểuLớp 10⚠ Chưa đối chiếu
Câu 4. Một chất điểm chuyển động thẳng trong 19 giây với vận tốc $v(t)$ (đơn vị: m/s) là hàm số phụ thuộc thời gian $t$ (đơn vị: giây) có đồ thị như hình vẽ.
- a) Tại thời điểm $t = 19$ giây, vận tốc của chất điểm bằng 16 m/s.
- b) Quảng đường chất điểm đi được trong khoảng thời gian từ 0 giây đến 4 giây bằng 24 m.
- c) Trong khoảng thời gian từ 13 giây đến 19 giây, đồ thị của $v(t)$ là một phần của đường parabol. Khi đó $v(t) = -t^2 + 30t - 209(\text{m/s})$.
- d) Quãng đường chất điểm đi được từ lúc xuất phát đến khi dùng lại bằng 204 m.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: a) Sai · b) Đúng · c) Đúng · d) Đúng
Lời giải: a) Sai: Tại thời điểm $t = 19$ giây, vận tốc của chất điểm bằng 0 m/s.
b) Đúng: Với $t \in [0;4]$ ta có hàm vận tốc là $v_{1}(t) = 3t$
Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian này là
$$
S _ {1} = \int_ {0} ^ {4} v _ {1} (t) d t = \int_ {0} ^ {4} 3 t d t = 2 4 m
$$
c) Đúng: Với $t \in [13;19]$ ta có hàm vận tốc là $v_3(t) = at^2 + bt + c$
Dựa vào đồ thị, ta có hoành độ định parabol là $\frac{-b}{2a}=15\Leftrightarrow30a+b=0$
Parabol đi qua các điểm (13;12), (19;0), ta có hệ phương trình:
$$
\left\{ \begin{array}{l} 3 0 a + b = 0 \\ 1 3 ^ {2} a + 1 3 b + c = 1 2 \Leftrightarrow \\ 1 9 ^ {2} a + 1 9 b + c = 0 \end{array} \right. \left\{ \begin{array}{l} a = - 1 \\ b = 3 0 \\ c = - 2 0 9 \end{array} \right.
$$
Suy ra $v_{3}(t) = -t^{2} + 30t - 209$.
d) Đúng: Ta có
$$
S _ {1} = 2 4; S _ {2} = \int_ {4} ^ {1 3} v _ {2} (t) d t = \int_ {4} ^ {1 3} 1 2 d t = 1 0 8; S _ {3} = \int_ {1 3} ^ {1 9} v _ {3} (t) d t = \int_ {1 3} ^ {1 9} - t ^ {2} + 3 0 t - 2 0 9 d t = 7 2
$$
Tổng quãng đường chất điểm đi được là $S = S_1 + S_2 + S_3 = 204m$
Truy cập https://tailieuchuan.vn/de-thi-thu-tot-nghiep-thpt-2025-tu-cac-truong-truong-chuyen-so-giao-duc-ca-nuoc-mon-toan-27114.html để tải trọn bộ đề
b) Đúng: Với $t \in [0;4]$ ta có hàm vận tốc là $v_{1}(t) = 3t$
Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian này là
$$
S _ {1} = \int_ {0} ^ {4} v _ {1} (t) d t = \int_ {0} ^ {4} 3 t d t = 2 4 m
$$
c) Đúng: Với $t \in [13;19]$ ta có hàm vận tốc là $v_3(t) = at^2 + bt + c$
Dựa vào đồ thị, ta có hoành độ định parabol là $\frac{-b}{2a}=15\Leftrightarrow30a+b=0$
Parabol đi qua các điểm (13;12), (19;0), ta có hệ phương trình:
$$
\left\{ \begin{array}{l} 3 0 a + b = 0 \\ 1 3 ^ {2} a + 1 3 b + c = 1 2 \Leftrightarrow \\ 1 9 ^ {2} a + 1 9 b + c = 0 \end{array} \right. \left\{ \begin{array}{l} a = - 1 \\ b = 3 0 \\ c = - 2 0 9 \end{array} \right.
$$
Suy ra $v_{3}(t) = -t^{2} + 30t - 209$.
d) Đúng: Ta có
$$
S _ {1} = 2 4; S _ {2} = \int_ {4} ^ {1 3} v _ {2} (t) d t = \int_ {4} ^ {1 3} 1 2 d t = 1 0 8; S _ {3} = \int_ {1 3} ^ {1 9} v _ {3} (t) d t = \int_ {1 3} ^ {1 9} - t ^ {2} + 3 0 t - 2 0 9 d t = 7 2
$$
Tổng quãng đường chất điểm đi được là $S = S_1 + S_2 + S_3 = 204m$
Truy cập https://tailieuchuan.vn/de-thi-thu-tot-nghiep-thpt-2025-tu-cac-truong-truong-chuyen-so-giao-duc-ca-nuoc-mon-toan-27114.html để tải trọn bộ đề
Nguồn: Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2025 môn Toán - Sở giáo dục và đào tạo Hà Nội
Trả lời ngắnVận dụngLớp 10
Câu 5. Một tấm kính làm mặt bàn (H1) có hình dáng tam giác đều với 3 đỉnh được làm cong (H2). Biết cạnh tấm kính tam giác ban đầu bằng 12(dm). Đề cắt góc bàn được đẹp thì người ta cắt theo đường cong là đường
Parabol (P): $y = -\frac{\sqrt{3}}{4} x^{2} + 5\sqrt{3}$ (H3) có hai nhánh tiếp giáp với hai cạnh của tam giác (H4)
H1
H2
H3
H4
Diện tích mặt kính làm mặt bàn (H1) bằng $S(dm^{2})$. Tính $S$ (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
Parabol (P): $y = -\frac{\sqrt{3}}{4} x^{2} + 5\sqrt{3}$ (H3) có hai nhánh tiếp giáp với hai cạnh của tam giác (H4)
H1
H2
H3
H4
Diện tích mặt kính làm mặt bàn (H1) bằng $S(dm^{2})$. Tính $S$ (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
✍️ Câu trả lời ngắn: học sinh điền đáp số (tối đa 4 ký tự, dùng dấu phẩy thập phân).
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: 55,4
Lời giải: Đáp số: 55,4
Diện tích tam giác ABC bằng $S_{\Delta ABC} = 12^{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3}$
Dựng hệ trục như hình vẽ
(hình minh họa trong tài liệu gốc)
Vì tam giác ABC đều cạnh bằng 12 nên $AO = 6\sqrt{3}$.
Phương trình đường thẳng $AC: \frac{x}{6} + \frac{y}{6\sqrt{3}} = 1 \Leftrightarrow y = -\sqrt{3}x + 6\sqrt{3}$
Ta có phương trình hoành độ giao điểm của (P) và đường thẳng AC
$$
- \frac {\sqrt {3}}{4} x ^ {2} + 5 \sqrt {3} = - \sqrt {3} x + 6 \sqrt {3} \Leftrightarrow \frac {\sqrt {3}}{4} x ^ {2} - \sqrt {3} x + \sqrt {3} = 0 \Leftrightarrow \frac {\sqrt {3}}{4} (x - 2) ^ {2} = 0 \Leftrightarrow x = 2
$$
Diện tích phần tô đậm giới hạn bởi (P), (AC) và trục Oy trong hình bằng
$$
\begin{array}{l} S _ {1} = \int_ {0} ^ {2} \left[ \left(- \sqrt {3} x + 6 \sqrt {3}\right) - \left(- \frac {\sqrt {3}}{4} x ^ {2} + 5 \sqrt {3}\right) \right] d x = \int_ {0} ^ {2} \left(\frac {\sqrt {3}}{4} x ^ {2} - \sqrt {3} x + \sqrt {3}\right) d x \\ = \frac {\sqrt {3}}{4} \int_ {0} ^ {2} (x - 2) ^ {2} d x = \frac {\sqrt {3}}{4} \frac {1}{3} (x - 2) ^ {3} \Bigg | _ {0} ^ {2} = \frac {2 \sqrt {3}}{3} \end{array}
$$
Vì mặt bàn đối xứng nên diện tích kính cần tính bằng $S = S_{\Delta ABC} - 6S_{1} = 36\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = 32\sqrt{3} \approx 55, 4$ $(dm^{2})$ .
Diện tích tam giác ABC bằng $S_{\Delta ABC} = 12^{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3}$
Dựng hệ trục như hình vẽ
(hình minh họa trong tài liệu gốc)
Vì tam giác ABC đều cạnh bằng 12 nên $AO = 6\sqrt{3}$.
Phương trình đường thẳng $AC: \frac{x}{6} + \frac{y}{6\sqrt{3}} = 1 \Leftrightarrow y = -\sqrt{3}x + 6\sqrt{3}$
Ta có phương trình hoành độ giao điểm của (P) và đường thẳng AC
$$
- \frac {\sqrt {3}}{4} x ^ {2} + 5 \sqrt {3} = - \sqrt {3} x + 6 \sqrt {3} \Leftrightarrow \frac {\sqrt {3}}{4} x ^ {2} - \sqrt {3} x + \sqrt {3} = 0 \Leftrightarrow \frac {\sqrt {3}}{4} (x - 2) ^ {2} = 0 \Leftrightarrow x = 2
$$
Diện tích phần tô đậm giới hạn bởi (P), (AC) và trục Oy trong hình bằng
$$
\begin{array}{l} S _ {1} = \int_ {0} ^ {2} \left[ \left(- \sqrt {3} x + 6 \sqrt {3}\right) - \left(- \frac {\sqrt {3}}{4} x ^ {2} + 5 \sqrt {3}\right) \right] d x = \int_ {0} ^ {2} \left(\frac {\sqrt {3}}{4} x ^ {2} - \sqrt {3} x + \sqrt {3}\right) d x \\ = \frac {\sqrt {3}}{4} \int_ {0} ^ {2} (x - 2) ^ {2} d x = \frac {\sqrt {3}}{4} \frac {1}{3} (x - 2) ^ {3} \Bigg | _ {0} ^ {2} = \frac {2 \sqrt {3}}{3} \end{array}
$$
Vì mặt bàn đối xứng nên diện tích kính cần tính bằng $S = S_{\Delta ABC} - 6S_{1} = 36\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = 32\sqrt{3} \approx 55, 4$ $(dm^{2})$ .
Nguồn: Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2025 môn Toán - THPT Nguyễn Viết Xuân - Vĩnh Phúc - Lần 1
Trả lời ngắnVận dụngLớp 10
Câu 6. Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã Y có xây một cây cầu bằng bê tông như hình vẽ. (Đường cong trong hình vẽ là các đường Parabol, chọn hệ trục Oxy như hình vẽ).
Lượng bê tông để đồ cây cầu là $a$ m$^{3}$. Tính $a$.
Lượng bê tông để đồ cây cầu là $a$ m$^{3}$. Tính $a$.
✍️ Câu trả lời ngắn: học sinh điền đáp số (tối đa 4 ký tự, dùng dấu phẩy thập phân).
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: 40
Lời giải: Trả Lời: 40
Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ.
(hình minh họa trong tài liệu gốc)
Gọi $(P_1): y = a_1 x^2 + b_1$ là Parabol đi qua hai điểm $A\left(\frac{19}{2}; 0\right), B(0; 2)$.
Nên ta có hệ phương trình sau: $\begin{cases} 0 = a_1 \left( \frac{19}{2} \right)^2 + 2 \\ 2 = b_1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a_1 = -\frac{8}{361} \Rightarrow (P_1): y = -\frac{8}{361} x^2 + 2 \\ b_1 = 2 \end{cases}$.
Gọi $(P_{2}): y = a_{2}x^{2} + b_{2}$ là Parabol đi qua hai điểm $C(10;0), D\left(0;\frac{5}{2}\right)$.
Nên ta có hệ phương trình sau: $\left\{\begin{aligned}0 &= a_{2}(10)^{2} + \frac{5}{2} \\ \frac{5}{2} &= b_{2}\end{aligned}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned}a_{2} &= -\frac{1}{40}\\ b_{2} &= \frac{5}{2}\end{aligned}\right.\Rightarrow(P_{2}):y = -\frac{1}{40}x^{2} + \frac{5}{2}.$
Ta có thể tích của bê tông là:
$$
V = 5. 2 \left[ \int_ {0} ^ {1 0} \left(- \frac {1}{4 0} x ^ {2} + \frac {5}{2}\right) \mathrm{d} x - \int_ {0} ^ {\frac {1 9}{2}} \left(- \frac {8}{3 6 1} x ^ {2} + 2\right) \mathrm{d} x \right] = 4 0 \mathrm{m} ^ {3} \Rightarrow a = 4 0.
$$
Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ.
(hình minh họa trong tài liệu gốc)
Gọi $(P_1): y = a_1 x^2 + b_1$ là Parabol đi qua hai điểm $A\left(\frac{19}{2}; 0\right), B(0; 2)$.
Nên ta có hệ phương trình sau: $\begin{cases} 0 = a_1 \left( \frac{19}{2} \right)^2 + 2 \\ 2 = b_1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a_1 = -\frac{8}{361} \Rightarrow (P_1): y = -\frac{8}{361} x^2 + 2 \\ b_1 = 2 \end{cases}$.
Gọi $(P_{2}): y = a_{2}x^{2} + b_{2}$ là Parabol đi qua hai điểm $C(10;0), D\left(0;\frac{5}{2}\right)$.
Nên ta có hệ phương trình sau: $\left\{\begin{aligned}0 &= a_{2}(10)^{2} + \frac{5}{2} \\ \frac{5}{2} &= b_{2}\end{aligned}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned}a_{2} &= -\frac{1}{40}\\ b_{2} &= \frac{5}{2}\end{aligned}\right.\Rightarrow(P_{2}):y = -\frac{1}{40}x^{2} + \frac{5}{2}.$
Ta có thể tích của bê tông là:
$$
V = 5. 2 \left[ \int_ {0} ^ {1 0} \left(- \frac {1}{4 0} x ^ {2} + \frac {5}{2}\right) \mathrm{d} x - \int_ {0} ^ {\frac {1 9}{2}} \left(- \frac {8}{3 6 1} x ^ {2} + 2\right) \mathrm{d} x \right] = 4 0 \mathrm{m} ^ {3} \Rightarrow a = 4 0.
$$
Nguồn: Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2025 môn Toán - THPT Bình Sơn - Vĩnh Phúc - Lần 1 2
Trả lời ngắnVận dụngLớp 10
Câu 7. Bổ đọc một quả dưa hấu ta được thiết diện là hình elip có trực lớn 29 cm, trực nhỏ 26 cm. Biết cứ 1000 cm³ dưa hấu sẽ làm được cốc sinh tố giá 20000 đồng. Hỏi từ quả dưa hấu trên có thể thu được bao nhiêu nghìn đồng từ việc bán nước sinh tố (làm tròn kết quả hàng đơn vị). Biết rằng bề dày vỏ dưa hấu là 1 cm.
✍️ Câu trả lời ngắn: học sinh điền đáp số (tối đa 4 ký tự, dùng dấu phẩy thập phân).
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: 183
Lời giải: Phần lõi dura hâu là đường elip có trực lớn 28cm, trực nhỏ 25cm có phương trình
$$
\frac {x ^ {2}}{1 4 ^ {2}} + \frac {y ^ {2}}{\left(\frac {2 5}{2}\right) ^ {2}} = 1 \Leftrightarrow y ^ {2} = \left(\frac {2 5}{2}\right) ^ {2} \left(1 - \frac {x ^ {2}}{1 4 ^ {2}}\right) \Leftrightarrow y = \pm \frac {2 5}{2} \sqrt {1 - \frac {x ^ {2}}{1 4 ^ {2}}}.
$$
Do đó thể tích quả dura là $V = \pi \int_{-14}^{14} \left( \frac{25}{2} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{14^{2}}} \right)^{2} dx = \pi \left( \frac{25}{2} \right)^{2} \int_{-14}^{14} \left( 1 - \frac{x^{2}}{14^{2}} \right) dx$
$= \pi \left( \frac{25}{2} \right)^{2} \cdot \left( x - \frac{x^{3}}{3.14^{2}} \right) \bigg|_{-14}^{14} = \pi \left( \frac{25}{2} \right)^{2} \cdot \frac{56}{3}$
$$
= \frac {8 7 5 0 \pi}{3} \mathrm{cm} ^ {3}.
$$
Do đó tiền bán nước thu được là $\frac{8750\pi.20000}{3.1000} \approx 183259$ đồng.
Đáp án: 183.
$$
\frac {x ^ {2}}{1 4 ^ {2}} + \frac {y ^ {2}}{\left(\frac {2 5}{2}\right) ^ {2}} = 1 \Leftrightarrow y ^ {2} = \left(\frac {2 5}{2}\right) ^ {2} \left(1 - \frac {x ^ {2}}{1 4 ^ {2}}\right) \Leftrightarrow y = \pm \frac {2 5}{2} \sqrt {1 - \frac {x ^ {2}}{1 4 ^ {2}}}.
$$
Do đó thể tích quả dura là $V = \pi \int_{-14}^{14} \left( \frac{25}{2} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{14^{2}}} \right)^{2} dx = \pi \left( \frac{25}{2} \right)^{2} \int_{-14}^{14} \left( 1 - \frac{x^{2}}{14^{2}} \right) dx$
$= \pi \left( \frac{25}{2} \right)^{2} \cdot \left( x - \frac{x^{3}}{3.14^{2}} \right) \bigg|_{-14}^{14} = \pi \left( \frac{25}{2} \right)^{2} \cdot \frac{56}{3}$
$$
= \frac {8 7 5 0 \pi}{3} \mathrm{cm} ^ {3}.
$$
Do đó tiền bán nước thu được là $\frac{8750\pi.20000}{3.1000} \approx 183259$ đồng.
Đáp án: 183.
Nguồn: Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2025 môn Toán - THPT Trần Hưng Đạo - Vĩnh Phúc - Lần 1
Trả lời ngắnVận dụng caoLớp 10
Câu 8. Một chi tiết máy được thiết kế như hình vẽ bên.
Các tứ giác ABCD, CDPQ là các hình vuông cạnh 2,5 cm. Tứ giác ABEF là hình chữ nhật có BE = 3,5 cm. Mặt bên PQEF được mài nhận theo đường parabol (P) có định parabol nằm trên cạnh EF. Thể tích của chi tiết máy bằng bao nhiêu đơn vị $cm^{3}$ (kết quả làm tròn đến chữ số đầu tiên hàng thập phân)?
Các tứ giác ABCD, CDPQ là các hình vuông cạnh 2,5 cm. Tứ giác ABEF là hình chữ nhật có BE = 3,5 cm. Mặt bên PQEF được mài nhận theo đường parabol (P) có định parabol nằm trên cạnh EF. Thể tích của chi tiết máy bằng bao nhiêu đơn vị $cm^{3}$ (kết quả làm tròn đến chữ số đầu tiên hàng thập phân)?
✍️ Câu trả lời ngắn: học sinh điền đáp số (tối đa 4 ký tự, dùng dấu phẩy thập phân).
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: 17,7
Lời giải: Đáp số: 17,7 cm³
(hình minh họa trong tài liệu gốc)
Gọi hình chiếu của P, Q trên AF và BE là R và S.
Vật thể được chia thành hình lập phương ABCD.PQRS có cạnh 2,5 cm , thể tích $V_1 = \frac{125}{8} cm^3$ và phần còn lại có thể tích $V_2$. Khi đó thể tích vật thể $V = V_1 + V_2 = \frac{125}{8} + V_2$.
Đặt hệ trục Oxyz sao cho O trùng với F, Ox trùng với FA, Oy trùng với tia Fy song song với AD. Khi đó Parabol (P) có phương trình dạng $y = ax^2$, đi qua điểm $P\left(1; \frac{5}{2}\right)$ do đó $a = \frac{5}{2} \Rightarrow y = \frac{5}{2} x^2$.
Cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với $Ox$ và đi qua điểm $M(x;0;0), 0 \leq x \leq 1$ ta được thiết diện là hình chữ nhật $MNHK$ có cạnh là $MN = \frac{5}{2}x^{2}$ và $MK = \frac{5}{2}$ do đó diện tích $S(x) = \frac{25}{4}x^{2}$
Áp dụng công thức thể tích vật thể ta có $V_{2}=\int_{0}^{1}\frac{25}{4}x^{2}dx=\frac{25}{12}$
$\text{Từ đó } V = \frac{125}{8} + \frac{25}{12} = \frac{425}{24} cm^{3} \approx 17, 7cm^{3}$
(hình minh họa trong tài liệu gốc)
Gọi hình chiếu của P, Q trên AF và BE là R và S.
Vật thể được chia thành hình lập phương ABCD.PQRS có cạnh 2,5 cm , thể tích $V_1 = \frac{125}{8} cm^3$ và phần còn lại có thể tích $V_2$. Khi đó thể tích vật thể $V = V_1 + V_2 = \frac{125}{8} + V_2$.
Đặt hệ trục Oxyz sao cho O trùng với F, Ox trùng với FA, Oy trùng với tia Fy song song với AD. Khi đó Parabol (P) có phương trình dạng $y = ax^2$, đi qua điểm $P\left(1; \frac{5}{2}\right)$ do đó $a = \frac{5}{2} \Rightarrow y = \frac{5}{2} x^2$.
Cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với $Ox$ và đi qua điểm $M(x;0;0), 0 \leq x \leq 1$ ta được thiết diện là hình chữ nhật $MNHK$ có cạnh là $MN = \frac{5}{2}x^{2}$ và $MK = \frac{5}{2}$ do đó diện tích $S(x) = \frac{25}{4}x^{2}$
Áp dụng công thức thể tích vật thể ta có $V_{2}=\int_{0}^{1}\frac{25}{4}x^{2}dx=\frac{25}{12}$
$\text{Từ đó } V = \frac{125}{8} + \frac{25}{12} = \frac{425}{24} cm^{3} \approx 17, 7cm^{3}$
Nguồn: Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2025 môn Toán - THPT Đồng Đậu - Vĩnh Phúc - Lần 1
Trả lời ngắnVận dụng caoLớp 10
Câu 9. Trên màn hình ra đa của đài kiểm soát (được coi như mặt phẳng tọa độ Oxy với đơn vị trên các trực tính theo ki-lô-mét), một xe thiết giáp chuyển động thẳng đều từ mục tiêu A có tọa độ (60; 20) đến mục tiêu B có tọa độ (20; 50) và thời gian đi quãng đường AB là 3 giờ. Gọi $M(x_M; y_M)$ là tọa độ của xe thiết giáp tại thời điểm sau khi xuất phát 1 giờ. Hôi $y_M$ bằng bao nhiêu?.
✍️ Câu trả lời ngắn: học sinh điền đáp số (tối đa 4 ký tự, dùng dấu phẩy thập phân).
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: 30
Lời giải: Ta có: $\overrightarrow{AM}=(x-60;y-20),\overrightarrow{AB}=(-40;30)$ .
Vì xe thiết giáp chuyên động thẳng đều nên $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AB}$ .
Do dó:
$$
\left\{ \begin{array}{l} x - 6 0 = - \frac {4 0}{3} \\ y - 2 0 = 1 0 \end{array} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \frac {1 4 0}{3} \\ y = 3 0. \end{array} \right. \right.
$$
Vậy vị trí của xe thiết giáp tại thời điểm sau khi xuất phát 1 giờ là $M\left(\frac{140}{3};30\right)$.
Đáp án : 30
Vì xe thiết giáp chuyên động thẳng đều nên $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AB}$ .
Do dó:
$$
\left\{ \begin{array}{l} x - 6 0 = - \frac {4 0}{3} \\ y - 2 0 = 1 0 \end{array} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \frac {1 4 0}{3} \\ y = 3 0. \end{array} \right. \right.
$$
Vậy vị trí của xe thiết giáp tại thời điểm sau khi xuất phát 1 giờ là $M\left(\frac{140}{3};30\right)$.
Đáp án : 30
Nguồn: Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2025 môn Toán - THPT Quế Võ 1 - Bắc Ninh - Lần 1
Trả lời ngắnVận dụng caoLớp 10
Câu 10. Một cái ao có hình ABCDE (như hình vẽ), ở giữa ao có một mảnh vườn hình tròn bán kính 10m, người ta muốn bắc một cây cầu từ bờ AB của ao đến vườn. Hôi độ dài ngắn nhất 1 (đơn vị mét) của cây cầu là bao nhiêu (làm tròn đến chữ số hàng phần chục), biết:
\- Hai bờ AE và BC nằm trên hai đường thẳng vuông góc với nhau, hai đường thẳng này cắt nhau tại điểm O;
- Bờ AB là một phần của một parabol có định là điểm A và có trục đối xứng là đường thẳng OA ;
\- Độ dài đoạn OA và OB lần lượt là 40m và 20m;
\- Tâm $I$ của mảnh vườn cách đường thẳng $AE$ và $BC$ lần lượt là 40m và 30m.
..............Hết............
\- Hai bờ AE và BC nằm trên hai đường thẳng vuông góc với nhau, hai đường thẳng này cắt nhau tại điểm O;
- Bờ AB là một phần của một parabol có định là điểm A và có trục đối xứng là đường thẳng OA ;
\- Độ dài đoạn OA và OB lần lượt là 40m và 20m;
\- Tâm $I$ của mảnh vườn cách đường thẳng $AE$ và $BC$ lần lượt là 40m và 30m.
..............Hết............
✍️ Câu trả lời ngắn: học sinh điền đáp số (tối đa 4 ký tự, dùng dấu phẩy thập phân).
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: 17,7
Nguồn: Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2025 môn Toán - THPT Trần Hưng Đạo - Vĩnh Phúc - Lần 1